O bind af sfærenberegnes ud fra målingen af dens radius. Kuglen er en geometrisk form, der har tre dimensioner. Hovedelementerne i en kugle er dens radius og diameter. Kuglens volumen beregnes ved hjælp af en specifik formel, der vil blive præsenteret nedenfor. Ud over volumen kan vi beregne kuglens overfladeareal.
Læs også: Sådan beregnes volumenet af en cylinder
Sammenfatning af kuglevolumen
- Flere genstande i vores daglige liv har en kugleformet form, såsom en fodbold.
- Hovedelementerne i kuglen er dens radius og diameter.
- For at beregne rumfanget af kuglen bruger vi formlen:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Der er andre vigtige formler, såsom formlen for arealet af en kugle: \(A=4\pi r^2\).
Video lektion om kuglevolumen
Hvad er en kugle?
En kugle er en enkelt tredimensionel form, defineret som en tredimensionel figur, hvis punkter er lige langt fra dens centrum. Det er en af de mest symmetriske former og er til stede i vores verden på mange måder. Vi kan opfatte tilstedeværelsen af sfæren i naturen, i den menneskelige krop, i studiet af planeterne, blandt andre situationer i vores daglige liv.
En kugle er et geometrisk fast stof. Billard-, fodbold- og basketballbolden er eksempler på kugler. Den består af alle punkter, der er i konstant afstand fra et centralt punkt kaldet kuglens centrum. Og denne konstante afstand er kendt som kuglens radius.
Kugleelementer
Kuglen har nogle interessante dele:
- Centrum: som navnet antyder, er det punktet, der er i midten af kuglen.
- Diameter: lige linjestykke, der forbinder to modsatte punkter på kuglen, der passerer gennem midten.
- Ray: segment, der går fra midten til et hvilket som helst punkt på overfladen.
- Overflade: ydre lag af kuglen.
- Inde: plads inde i kuglen.
Hvordan beregner man kuglens rumfang?
Kuglens rumfang beregnes ved formlen:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: er kuglens rumfang.
- EN: er kuglens radius.
- π: er en konstant.
Okonstant værdi πmest almindeligt anvendte er ca. 3,14, men vi kan overveje π lig med cirka 3, eller cirka 3,1 eller endda cirka 3,1415, afhængigt af hvor mange decimaler vi ønsker at overveje, da π er et irrationelt tal, og irrationelle tal har uendelige decimaler.
- Eksempel:
En kugle har en radius på 6 cm. Hvad er volumen af denne sfære, i betragtning af det π=3?
Løsning:
Når vi beregner kuglens rumfang, har vi:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Så rumfanget af denne kugle er 864 cm³.
Endnu en kugleformel
Ud over den præsenterede formel til at beregne kuglens volumen, er der en anden vigtig formel, som er formel for overfladeareal. For at beregne overfladearealet af kuglen er formlen:
\(A=4\pi r^2\)
EN kuglens overflade er intet andet end det område, der omgiver kuglen. For eksempel i en plastikbold er kuglen hele kuglen, og overfladen er det område af plastikken, der er konturen af kuglen.
- Eksempel:
Hvad er overflademålet for en kugle, der har en radius på 5 cm?
Løsning:
Som værdien af π, vil vi ikke erstatte det med nogen værdi, så:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Arealet af denne sfære er i 100π cm2.
Få mere at vide: Hvad er forskellen mellem omkreds, cirkel og kugle?
Løste øvelser om kuglevolumen
Spørgsmål 1
Et sfærisk objekt har en radius på 6 cm. Derefter volumen af dette objekt (ved hjælp af π=3,14) er omtrent lig med:
A) 314,42 cm3
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm3
D) 602,38 cm3
E) 904,32 cm3
Løsning:
Alternativ E
Udskiftning af værdierne i erklæringen med formlen \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), vi har:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904.32{\cm}^3\)
Spørgsmål 2
En beholder har en sfærisk form. Det er kendt, at det har volumen i 288π cm³. Når vi kender dens volumen, kan vi så sige, at målingen af radius af denne beholder er:
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Løsning:
Alternativ D
Vi ved det \(V=288\pi\).
Udskiftning af værdierne i erklæringen med formlen \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), vi har \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Annullering af π på begge sider og krydsmultiplikation:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Kilder
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Grundlæggende om elementær matematik: Spatial Geometry, vol. 10, 6. udg. São Paulo: Aktuel, 2005.
LIMA, E. et. al. Gymnasiets matematik. bind 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
