EN rode Det er en matematisk operation, ligesom addition, subtraktion, multiplikation, division og potensering. På samme måde som subtraktion er den omvendte operation af addition og division er den inverse af multiplikation, er udstråling den omvendte operation af potensering. For reelle positive x og y og heltal n (større end eller lig med 2), hvis x hævet til n er lig med y, kan vi sige, at den n'te rod af y er lig med x. I matematisk notation: \(x^n=y\Højrepil\sqrt[n]{y}=x\).
Læs også:Potentiering og udstråling af fraktioner - hvordan gør man det?
Opsummering om rooting
Rootification er en matematisk operation.
Radiciering og potensering er omvendte operationer, det vil sige for positive x og y, \(x^n=y\Højrepil\sqrt[n]{y}=x\).
At beregne den n-te rod af et tal y betyder at finde tallet x således, at x hævet til n er lig med y.
Læsning af en rod afhænger af indeks n. Hvis n = 2, kalder vi det kvadratroden, og hvis n = 3, kalder vi det terningroden.
I operationer med radikale bruger vi udtryk med samme indeks.
Radiciation har vigtige egenskaber, der letter beregningen.
Video lektion om rooting
Repræsentation af en rod
For at repræsentere en forankring, vi skal overveje de tre involverede elementer: radicand, index og root. Symbolet \(√\) kaldes en radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
I dette eksempel, y er radikanden, n er indekset og x er roden. Det lyder "n. rod af y er x". Mens x og y repræsenterer positive reelle tal, repræsenterer n et heltal lig med eller større end 2. Det er vigtigt at bemærke, at for n = 2 kan indekset udelades. Så f.eks. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Vi kan repræsentere en stråling ved at bruge radicanden med en fraktioneret eksponent. Formelt siger vi, at den n'te rod af \(y^m\) kan skrives som y hævet til brøkeksponenten \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Se eksemplerne:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Forskelle mellem stråling og potensering
Potentiation og stråling er omvendte matematiske operationer. Det betyder, at hvis \(x^n=y\), derefter \(\sqrt[n]{y}=x\). Det virker svært? Lad os se på nogle eksempler.
Hvis \(3^2=9\), derefter \(\sqrt[2]{9}=3\).
Hvis \(2^3=8\), derefter \(\sqrt[3]{8}=2\).
Hvis \(5^4=625\), derefter \(\sqrt[4]{625}=5\).
Hvordan læser man en rod?
For at læse en rod, vi skal overveje indekset n. Hvis n = 2, vi kalder det kvadratroden. Hvis n = 3, kalder vi det terningroden. For værdier af n større bruger vi nomenklaturen for ordenstal: fjerde rod (hvis n = 4), femte rod (hvis n = 5) og så videre. Se nogle eksempler:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratroden af 9.
\(\sqrt[3]{8}\) - terningrod af 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – fjerde rod af 625.
Hvordan beregner man roden af et tal?
Vi vil nedenfor se, hvordan man beregner roden af et positivt reelt tal. At beregne roden af et tal, skal vi overveje den relaterede inverse operation. Det vil sige, at hvis vi leder efter den n'te rod af et tal y, skal vi lede efter et tal x sådan \(x^n=y\).
Afhængig af værdien af y (det vil sige radicand), kan denne proces være enkel eller besværlig. Lad os se på nogle eksempler på, hvordan man beregner roden af et tal.
Eksempel 1:
Hvad er kvadratroden af 144?
Løsning:
Lad os ringe til det nummer, vi leder efter x, dvs. \(\sqrt{144}=x\). Bemærk, at dette betyder, at man leder efter et tal x sådan \(x^2=144\). Lad os teste nogle muligheder med naturlige tal:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Derfor, \(\sqrt{144}=12\).
Eksempel 2:
Hvad er terningroden af 100?
Løsning:
Lad os ringe til det nummer, vi leder efter x, dvs. \(\sqrt[3]{100}=x\). Det betyder at \(x^3=100\). Lad os teste nogle muligheder:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Bemærk, at vi leder efter et tal, der er mellem 4 og 5, som \(4^3=64\) det er \(5^3=125\). Så lad os teste nogle muligheder med tal mellem 4 og 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Som \(4,6^3 \) er et tal tæt på og mindre end 100, kan vi sige, at 4,6 er en tilnærmelse til terningroden af 100. Derfor, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Vigtig:Når roden er et rationelt tal, siger vi, at roden er nøjagtig; ellers er roden ikke nøjagtig. I eksemplet ovenfor bestemmer vi et interval mellem nøjagtige rødder, hvor den søgte rod findes:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Denne strategi er meget nyttig til at beregne tilnærmelser af en rod.
Operationer med radikale
I operationer med radikale bruger vi udtryk med samme indeks. I betragtning af dette skal du læse følgende information omhyggeligt.
→ Addition og subtraktion mellem radikaler
For at løse en addition eller subtraktion mellem radikaler skal vi beregne roden af hvert radikal separat.
Eksempler:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Vigtig: Det er ikke muligt at betjene radikaler i additions- og subtraktionsoperationer. Bemærk, at for eksempel operationen \(\sqrt4+\sqrt9\) resulterer i et andet antal \(\sqrt{13}\), selvom \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Multiplikation og division mellem radikaler
For at løse en multiplikation eller division mellem radikaler kan vi beregne roden af hvert radikal for sig, men vi kan også bruge strålingsegenskaberne, som vi vil se nedenfor.
Eksempler:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Hvad er egenskaberne ved stråling?
→ Egenskab 1 af stråling
Hvis y er et positivt tal, så er den n'te rod af \(y^n\) er lig med y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Se eksemplet:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Denne egenskab er meget brugt til at forenkle udtryk med radikaler.
→ Egenskab 2 af stråling
Den n'te rod af produktet \(y⋅z\) er lig med produktet af de n'te rødder af y og z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Se eksemplet:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Vigtig: Når vi beregner roden af et stort tal, er det meget nyttigt faktor (nedbryde) radicanden til primtal og anvende egenskab 1 og 2. Se følgende eksempel, hvor vi vil regne \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Sådan her,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Ejendom 3af roden
Den n'te rod af kvotienten \(\frac{y}z\), med \(z≠0\), er lig med kvotienten af de n'te rødder af y og z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Se eksemplet:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Egenskab 4 af stråling
Den n'te rod af y hævet til en eksponent m er lig med den n'te rod af \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Se eksemplet:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Se også: Hvad er egenskaberne ved potensering?
Løste øvelser om stråling
Spørgsmål 1
(FGV) Forenkling \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), du får:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Løsning:
Alternativ C.
Bemærk, at vi bruger strålingsegenskaberne
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Således kan vi omskrive udsagnets udtryk som
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Sætter udtrykket \(\sqrt3\) beviser, konkluderer vi det
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Spørgsmål 2
(Cefet) Med hvilket tal skal vi gange tallet 0,75, så kvadratroden af det opnåede produkt er lig med 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Løsning:
Alternativ A.
Det søgte tal er x. Således ifølge udtalelsen,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Derfor,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)