Det er kendt som en rationelt tal hvert nummer, der kan repræsenteres som en irreducerbar brøkdel. Gennem hele menneskets historie er ideen om antal gradvist udviklet i overensstemmelse med menneskelige behov. Repræsentationen af tal i brøker løste for eksempel problemer, der kun blev løst med hele tal.
Et rationelt tal kan repræsenteres fra en brøkdel, så der er metoder til at transformere heltal, decimaltal nøjagtige og periodiske decimaler i brøkdele.
Læs også: Operationer med brøker - hvordan løser man det?
Hvad er rationelle tal?
De rationelle tal er en udvidelse af sættet af heltal, blev der foruden hele tal tilføjet alle fraktioner. O sæt af de rationelle tal er repræsenteret af:
Hvad denne repræsentation siger er, at et tal er rationelt, hvis det kan repræsenteres som brøkdelen Det om B, sådan at Det er et heltal og B er et ikke-nul heltal. Men hvis vi skal definere rationelle tal mindre strengt, kan vi sige følgende:
Rationelle tal er alle tal, der kan repræsenteres som en brøkdel. |
Opfyld denne definition:
du heltals, for eksempel: -10, 7, 0;
du nøjagtige decimaltalfor eksempel: 1,25; 0,1; 3,1415;
på enkle periodiske tiende, for eksempel: 1.424242…;
på sammensatte periodiske tiende, for eksempel: 1.0288888…
Ingen er rationelle tal:
På ikke-periodiske tiende, for eksempel: 4,1239489201…;
På rødderikke nøjagtig, for eksempel:
;- DET frøjegz kvadrat af negative tal, for eksempel:
.
Observation: Eksistensen af ikke-rationelle tal får andre sæt til at dukke op, såsom irrationelle tal og komplekse tal.
Repræsentation af rationelle tal
At forstå, at fraktionen er en division af to hele tal, for at være et rationelt tal, du kan repræsentere dette tal som en brøkdel. Derfor kan hver af de tilfælde, der er nævnt ovenfor, være rationelle tal (heltal, nøjagtige decimaler og periodiske decimaler) repræsenteres som en brøkdel.
heltal
Der er uendelige muligheder for at repræsentere et heltal som en brøk, da en brøk kan repræsenteres i irreducerbar form eller ej.
Eksempler:
nøjagtige decimaler
For at gøre et nøjagtigt decimaltal til et brøkdel, tæller vi antallet af tal i sin decimaldel, det vil sige efter decimaltegnet. Hvis der er et tal efter kommaet, skriver vi heltalsdelen plus decimaldelen uden kommaet over 10. Hvis der er to tal i decimaldelen over 100, vil antallet af tal i decimaldelen i praksis være den mængde nuller, vi har i nævneren. Se eksemplet:
periodiske tiende
At finde den brøkdelte fremstilling af en tiende er ikke altid en let opgave, hvad vi kalder genererer fraktion. For at lette dette arbejde blev det observeret, at der i ligningen, vi brugte til at finde frembringelsesfraktionen, er regelmæssigheder, som tillod udviklingen af en praktisk metode.
Først skal vi forstå, at der er to typer periodiske tiende, enkle og sammensatte. En tiende er enkel hvis der i sin decimaldel kun er den del, der gentages, det vil sige perioden. En tiende er sammensat hvis der er en ikke-periodisk del i sin decimaldel.
Eksempel:
9,323232… → simpel periodisk decimal
Heltalsdel er lig med 9.
Perioden er lig med 32.
8,7151515… → sammensat periodisk tiende
Heltalsdel er lig med 8.
Ikke-periodisk decimaldel er lig med 7.
Perioden er lig med 15.
Se også: Ækvivalente brøker - brøker, der repræsenterer den samme mængde
→ 1. tilfælde: genererer brøkdel af en simpel periodisk decimal
I det første tilfælde til drej en simpel periodisk decimal til en brøkdel ved den praktiske metode skal du bare skrive hele delen plus perioden uden komma i tælleren. I nævneren tilføjer vi et 9 for hvert element i den periodiske del.
Eksempel:
Den genererende brøkdel af 9.323232…, som vi har set, har en periode lig med 32, det vil sige to tal i sin periode, så nævneren er 99. Heltalsdelen plus den periodiske del uden kommaet er 932, hvilket er tælleren. Så den genererende del af denne tiende er:
→ 2. tilfælde: genererer brøkdel af en sammensat periodisk decimal
Den periodiske sammensatte tiende er lidt mere besværlig. Lad os finde den genererende brøkdel af den tiende, vi arbejdede med i eksemplet.
8,7151515… → sammensat periodisk decimal.
Heltalsdel er lig med 8.
Ikke-periodisk decimaldel er lig med 7.
Decimaldelen af perioden er lig med 15.
Tælleren er subtraktion 8715 - 87, det vil sige forskellen mellem antallet, der går fra hele delen til den periodiske del med den ikke-gentagne del af tienden.
Tælleren vil være lig med 8715 - 87 = 8628.
For at finde nævneren, lad os analysere decimaldelen. Lad os først se på den ikke-periodiske og periodiske decimaldel. I dette tilfælde er decimaldelen af tallet 715. Lad os tilføje et for hvert nummer, der er i den periodiske del 9 i begyndelsen af nævneren. Da den periodiske del i dette tilfælde har to tal (15), vil der være to 9'er i nævneren. For hvert tal i decimaldelen, der ikke er periodisk, tilføjer vi en 0 i slutningen af nævneren, som vil være 990.
Snart, den genererer fraktion tiende vil være:
Egenskaber for rationelle tal
Mellem to rationelle tal vil der altid være et andet rationelt tal
Det er interessant at tænke på denne egenskab, som blev diskuteret meget af antikke folk og blev et paradoks. Når du vælger to rationelle tal, vil der altid være et tal mellem dem.
Eksempel:
Mellem 1 og 2 er der 1,5; mellem 1 og 1,5 er der 1,25; mellem 1 og 1.25 er der 1.125 og så videre. Så meget som jeg vælger to rationelle tal med meget lille forskel mellem dem, er det altid muligt at finde et rationelt tal imellem dem. Denne ejendom gør umuligt at definere efterfølger og forgænger i rationelle tal.
De fire operationer på sættet med rationelle tal er lukket
Vi siger, at sættet er lukket for sumfor eksempel, hvis summen af to rationelle tal altid genererer et andet rationelt tal som svar. Dette er hvad der sker med de fire operationer på Q.
DET addition, subtraktion, division og multiplikation mellem to rationelle tal vil altid resultere i et rationelt tal. Faktisk, selv den forstærkning af et rationelt tal vil altid generere et rationelt nummer som svar.
Sættet med rationelle tal er ikke lukket for stråling. Dermed, mda 2 er et rationelt tal, er kvadratroden af 2 a irrationelt nummer.
Se også: Ækvivalente brøker - brøker, der repræsenterer den samme mængde
Delsæt af rationelle tal
Vi ved hvordan delmængder eller inklusionsrelation sætene dannet af elementer, der hører til sættet med rationelle tal. Der er flere mulige delmængder, som sæt hele tal eller naturlig, da hvert heltal er rationelt, ligesom hvert naturligt tal er rationelt.
Eksempel:
Sæt med heltal: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Når det sker, siger vi det Z ⸦ Q (Det lyder: Z er indeholdt i Q, eller sættet af heltal er indeholdt i sættet med rationelle tal.)
Der er nogle symboler, der er vigtige for oprettelse af delmængder af Q, de er: +, - og *, hvilket betyder henholdsvis positiv, negativ og ikke-nul.
Eksempler:
Q * → (læser: sæt af rationelle tal, der ikke er nul.)
Q+ → (læses: sæt positive rationelle tal.)
Q- → (læser: sæt med negative rationelle tal.)
Q*+ → (læser: sæt af positive og ikke-nul rationelle tal.)
Q*- → (læs: sæt af negative og ikke-nul rationelle tal.)
Bemærk, at alle disse sæt er delmængder af Q, da alle elementer tilhører sættet med rationelle tal. Ud over de præsenterede sæt kan vi arbejde med flere undersæt i Q, såsom det sæt dannet af ulige tal, eller fætter og kusine, eller par, endelig er der flere og flere muligheder for delmængder.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm