Vi ved hvordan polynom et udtryk, der angiver den algebraiske sum af monomier, der ikke ligner hinanden, det vil sige polynomier en algebraisk udtryk mellem monomer. Monomium er et algebraisk udtryk, der har en koefficient og en bogstavelig del.
Når der er lignende udtryk mellem polynomierne, er det muligt at udføre nedsættelse af dets betingelser i tilføjelse og eller subtraktion af to polynomer. Det er også muligt at multiplicere to polynomer gennem den distribuerende egenskab. Opdelingen udføres ved hjælp af nøglemetoden.
Læs også: Polynomligning - Ligning karakteriseret ved at have et polynom lig med 0
Hvad er monomier?
For at forstå, hvad et polynom er, er det vigtigt først at forstå betydningen af et monomium. Et algebraisk udtryk er kendt som et monomium, når det har det tal og bogstaver og deres eksponenter kun adskilt ved multiplikation. Antallet er kendt som koefficienten, og bogstaverne og deres eksponenter er kendt som den bogstavelige del.
Eksempler:
2x² → 2 er koefficienten; x² er den bogstavelige del.
√5ax → √5 er koefficienten; økse er den bogstavelige del.
b³yz² → 1 er koefficienten; b³yz² er den bogstavelige del.
Hvad er et polynom?
Et polynom er intet andet end algebraisk sum af monomerdet vil sige, de er flere monomier adskilt ved addition eller subtraktion fra hinanden.
Eksempler:
ax² + med + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Generelt kan et polynom have flere udtryk, det er repræsenteret algebraisk af:
Detingenxingen + den(n-1) x(n-1) +… + Den2x² + a1x + a
Se også: Hvad er klasser af polynomer?
grad af et polynom
For at finde graden af polynomet, lad os adskille det i to tilfælde, når det har en enkelt variabel, og når den har flere variabler. Graden af polynomet er angivet af grad af det største af dets monomer i begge tilfælde.
Det er ret almindeligt at arbejde med et polynom, der kun har en variabel. Når dette sker, O større monomium grad hvilket angiver graden af polynomet er lig med den største eksponent for variablen:
Eksempler:
Enkelt variabel polynomer
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → bemærk, at variablen er x, og den største eksponent den har er 3, så dette er en grad 3 polynom.
b) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → variablen er y, og den største eksponent er 5, så dette er et polynom af grad 5.
Når polynomet har mere end en variabel i et monomium, er det nødvendigt at finde graden af dette udtryk tilføje-hvis graden eksponenterne for hver af variablerne. Således er graden af polynomet i dette tilfælde stadig lig med graden af det største monomium, men det er nødvendigt at passe på at tilføje eksponenterne for variablerne for hvert monomium.
Eksempler:
a) 2xy + 4x²y3 - 5y4
Når vi analyserer den bogstavelige del af hvert begreb, skal vi:
xy → klasse 2 (1 + 1)
x²y³ → grad 5 (2 + 3)
y³ → klasse 3
Bemærk, at det største udtryk har grad 5, så dette er en grad 5 polynom.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analyse af den bogstavelige del af hvert monomium:
a²b → klasse 3 (2 + 1)
ab² → grad 2 (1 + 1)
a²b² → klasse 4 (2 + 2)
Således har polynomet grad 4.
Tilføjelse af polynomer
Til tilføjelse mellem to polynomer, lad os udføre reduktion af lignende monomier. To monomier er ens, hvis de har lige bogstavelige dele. Når dette sker, er det muligt at forenkle polynomet.
Eksempel:
Lad P (x) = 2x² + 4x + 3 og Q (x) = 4x² - 2x + 4. Find værdien af P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Find lignende udtryk (som har de samme bogstavelige dele):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Lad os nu tilføje de lignende monomier:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomisk subtraktion
Subtraktion er ikke meget forskellig fra tilføjelse. Den vigtige detalje er, at først skal vi skrive det modsatte polynom inden vi udfører forenkling af lignende udtryk.
Eksempel:
Data: P (x) = 2x² + 4x + 3 og Q (x) = 4x² - 2x + 4. Beregn P (x) - Q (x).
Polynomet -Q (x) er det modsatte af Q (x), for at finde det modsatte af Q (x) skal du bare vende tegnet på hvert af dets udtryk, så vi bliver nødt til at:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Så beregner vi:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Forenkling af lignende udtryk har vi:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynomial multiplikation
For at udføre multiplikationen af to polynomer bruger vi det kendte distribuerende ejendom mellem de to polynomier, der driver multiplikationen af monomierne af det første polynom med de i det andet.
Eksempel:
Lad P (x) = 2a² + b og Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Beregn P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Når vi anvender den distribuerende ejendom, har vi:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2. plads5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Nu, hvis de findes, kan vi forenkle lignende udtryk:
2. plads5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Bemærk, at de eneste lignende monomier er fremhævet i orange og forenkler dem imellem, vi har følgende polynom som svar:
2. plads5 + (6 + 1) a3b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2. plads5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Også adgang: Hvordan laver man algebraisk fraktionsmultiplikation?
polynomisk opdeling
udføre opdeling af polynomer kan være ret besværlig, bruger vi det, der kaldes nøgler metode, men der er flere metoder til dette. Opdelingen af to polynomer det er kun muligt, hvis skillelinjen er mindre. Ved at dividere polynomet P (x) med polynomet D (x) leder vi efter et polynom Q (x), således at:
Således har vi ved divisionsalgoritmen: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → udbytte
D (x) → skillevæg
Q (x) → kvotient
R (x) → resten
Ved betjening af divisionen er polynomet P (x) deleligt med polynomet D (x), hvis resten er nul.
Eksempel:
Lad os operere ved at dividere polynomet P (x) = 15x² + 11x + 2 med polynomet D (x) = 3x + 1.
Vi vil dele:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. trin: vi deler det første monomium af udbyttet med det første af deleren:
15x²: 3x = 5x
2. trin: vi ganger 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x og trækker resultatet af P (x). For at udføre subtraktionen er det nødvendigt at vende tegnene på multiplikationsresultatet og finde polynomet:
3. trin: vi udfører divisionen af den første periode af subtraktionsresultatet med den første periode af divisoren:
6x: 3x = 2
4. trin: så har vi (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Derfor er vi nødt til at:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Læs også: Briot-Ruffinis praktiske enhed - opdeling af polynomer
Øvelser løst
Spørgsmål 1 - Hvad skal værdien af m være, så polynomet P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m har grad 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Løsning
Alternativ A
For at P (x) skal have grad 2, skal koefficienten x3 være lig med nul, og koefficienten x² skal være forskellig fra nul.
Så vi vil gøre:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
På den anden side har vi det m + 3 ≠ 0.
Så, m ≠ -3.
Således har vi som en opløsning af den første ligning, at m = 3 eller m = -3, men for den anden har vi m ≠ -3, så den eneste løsning, der får P (x) til at have grad 2 er: m = 3.
Spørgsmål 2 - (IFMA 2017) Figurens omkreds kan skrives af polynomet:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Løsning
Alternativ D
Fra billedet, når vi analyserer den givne længde og bredde, ved vi, at omkredsen er summen af alle sider. Da længden og højden er den samme, multiplicerer vi bare summen af de givne polynomer med 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer