Sumterning og Differenceterning er to typer bemærkelsesværdige produkter, hvor to led adderes eller trækkes fra og derefter kuberes i terninger, det vil sige med en eksponent lig med 3.
(x + y) ³ -> sum terning
se mere
Studerende fra Rio de Janeiro vil konkurrere om medaljer ved OL...
Institut for Matematik er åben for tilmelding til OL...
(x – y) ³ -> forskellen
Sumterningen kan også skrives som (x+y). (x+y). (x + y) og terningen af forskellen som (x – y). (x – y). (x - y).
Disse produkter får navnet på bemærkelsesværdige produkter for den betydning, de har, da de ofte optræder i algebraiske beregninger.
Husk nu, at i matematik kan det samme udtryk skrives på en anden måde, men uden at dets værdi ændres. For eksempel kan x + 1 + 1 ganske enkelt skrives som x + 2.
Ofte, når vi omskriver et udtryk, kan vi forenkle og løse mange algebraiske problemer. Lad os derfor se en anden måde at skrive summens terning og forskellens terning og udvikle dem algebraisk.
sum terning
O sum terning er det bemærkelsesværdige produkt (x + y) ³, hvilket er det samme som (x + y). (x+y). (x+y). På denne måde kan vi skrive:
(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)
I betragtning af det nu (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², terningen af summen kan skrives som:
(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplicer polynomiet (x + y) ved (x² + 2xy + y²), kan vi se, at:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Tilføjelse af lignende udtryk har vi, at terningen af summen er givet ved:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Eksempel:
Udvikl hver terning algebraisk:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) 3
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
forskel terning
O forskel terning er det bemærkelsesværdige produkt (x – y) ³, hvilket er det samme som (x – y). (x – y). (x – y). Så vi skal:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Ligesom (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², terningen af forskellen kan skrives som:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Hvis vi multiplicerer (x – y) med (x² – 2xy + y²), kan vi se, at:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Tilføjelse af lignende udtryk har vi, at kuben af forskellen er givet ved:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Eksempel:
Udvikl hver terning algebraisk:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Du kan også være interesseret:
- Algebraisk udtryksfaktorisering
- Algebraisk beregning, der involverer monomialer
- algebraiske brøker
