beregne Faktor af et tal giver kun mening, når vi arbejder med naturlige tal. Denne operation er ret almindelig i kombinatorisk analyse, lette beregningen af arrangementer, permutationer, kombinationer og andre problemer med tælling. Faktoriet er repræsenteret af symbolet “!”. Vi definerer det som n! (n faktor) til multiplikation af n med alle dens forgængere indtil du når 1. ingen! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Læs også: Grundlæggende tælleprincip - hovedbegrebet kombinatorisk analyse
Hvad er faktorielt?
Faktor er en meget vigtig operation for undersøgelse og udvikling af kombinatorisk analyse. I matematik, antallet efterfulgt af udråbstegn (!) er kendt som faktor, for eksempel x! (x faktor).
Vi kender som en faktor af en naturligt tal Det multiplicere dette tal med dets forgængere undtagen nul, dvs.
ingen! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Det er bemærkelsesværdigt, at denne operation giver mening, n er et naturligt tal, det vil sige, vi beregner ikke faktoren for et negativt tal eller endda et decimaltal eller af brøker.
faktorberegning
For at finde et nummer på et nummer skal du bare beregne produktet. Bemærk også, at det faktuelle er en operation, der når øge værdien af n, vil resultatet også stige meget.
Eksempler:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Per definition har vi:
0! = 1
1! = 1
Faktoriske operationer
For at løse faktoropgaver er det vigtigt at være forsigtig med ikke at begå fejl. Når vi skal tilføje, trække eller multiplicere to fakta, er det nødvendigt at beregne hver enkelt af dem separat. Kun divisionen har specifikke måder at udføre forenklinger på. Foretag ikke fejlen ved at udføre operationen og holde faktorietenten til addition og subtraktion eller til multiplikation.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Når vi løser nogen af disse operationer, skal vi beregne hvert af faktorierne.
Eksempler:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Se også: Hvordan løses ligning med faktor?
Faktorisk forenkling
Opdelinger er ret tilbagevendende. I formler af kombination, arrangering og permutation med gentagelse, vil vi altid ty til forenkling for at løse problemer, der involverer faktor. Lad os derfor følge nogle trin for det.
Eksempel:
1. trin: identificer den største af fabrikkene - i dette tilfælde er den 8! Ser vi på nævneren, som er 5!, lad os skrive multiplikationen af 8 med sine forgængere, indtil vi kommer til 5 !.
Faktoriet for et tal n, det vil sige n!, kan omskrives som multiplikationen af n til k!. Dermed,
ingen! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, så lad os omskrive 8! ligesom multiplikationen fra 8 til 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Så lad os omskrive grunden som:
2. trin: efter omskrivning af grund, er det muligt at forenkle tælleren med nævneren, da 5! det er i både tælleren og nævneren. Efter forenkling skal du bare udføre multiplikationen.
Eksempel 2:
Kombinatorisk og faktoranalyse
Når du udfører yderligere undersøgelse i kombinationsanalyse, vil et faktors antal altid vises. Hovedgrupperingerne i kombinatorisk analyse, som er permutation, kombination og arrangement, bruger et tal i deres formler.
Permutation
DET permutation og omorganisering af alle elementerne i et sæt. For at beregne en permutation griber vi til faktoriel, da permutationen af n elementer beregnes ved:
Pingen = n!
Eksempel:
Hvor mange anagrammer kan vi bygge med navnet HEITOR?
Dette er et typisk permutationsproblem. Da der er 6 bogstaver i navnet, skal du bare beregne P for at beregne antallet af mulige anagrammer6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Også adgang: Permutation med gentagne elementer: hvordan man løser det?
Arrangementer
Beregn arrangementer det kræver også beherskelse af et tals fabrik. Arrangement er, ligesom permutation, dannelsen af en ombestilling. Forskellen er, i arrangementet omordner vi en del af sættet, det vil sige, vi ønsker at vide, hvor mange mulige omordninger vi kan danne ved at vælge en mængde k på en sæt med n elementer.
Eksempel:
I et selskab er der 6 kandidater til at lede institutionen, og to vælges til stillinger som direktør og vicedirektør. At vide, at de vil blive valgt ved afstemning, hvor mange mulige resultater er der?
I dette tilfælde beregner vi arrangementet af 6 taget fra 2 til 2, da der er 6 kandidater til to ledige stillinger.
Kombination
I kombinationen, som i de andre, er det nødvendigt at mestre et tals faktor. Vi definerer som kombination du delmængder af et sæt. Forskellen er, at der i kombinationen ikke er nogen ombestilling, fordi ordren er ikke vigtig. Så vi beregner, hvor mange delmængder med k-elementer, vi kan danne i et sæt n-elementer.
Eksempel:
Et udvalg på 3 studerende vælges til at repræsentere klassen. Når du ved, at der er 5 kandidater, hvor mange kommissioner kan der dannes?
Læs også: Arrangement eller kombination?
Øvelser løst
Spørgsmål 1 - Om det faktuelle antal, bedøm følgende udsagn.
JEG). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Kun jeg er sand.
B) Kun II er sandt.
C) Kun III er sandt.
D) Kun I og II er sande.
E) Kun II og II er sande.
Løsning
Alternativ A.
I) Sandt.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Falsk.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Falsk.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Spørgsmål 2 - (UFF) Er produktet 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 svarende til?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Løsning
Alternativ D.
Når vi ser på produktet af alle lige tal fra 2 til 20, ved vi, at:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Så vi kan omskrive som 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer