Forenkling af algebraisk brøkdel

Når ordet "algebraisk" bruges til et numerisk udtryk, betyder det, at dette udtryk har mindst et ukendt, dvs. et bogstav eller symbol, der bruges til at repræsentere et tal ukendt. Således er en algebraisk brøkdeler til gengæld intet andet end en brøkdel, der har mindst en ukendt i nævneren (bunden af ​​fraktionen). Derfor er den forenkling af algebraiske fraktioner følger det samme fundament som forenklingen af ​​numeriske brøker.

Eksempler på algebraiske fraktioner er:

1)

2x
4y

2)

4y² - 9x²
2y + 3x

Forenkling af algebraiske fraktioner

Forenkling af en algebraisk brøk følger det samme fundament som forenkling af en numerisk brøk. Det er nødvendigt at dele tæller og nævner med det samme nummer. Bemærk et eksempel på fraktionsforenkling:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Fraktionen ovenfor blev forenklet med 2, derefter med 3 og derefter med 5. For at understøtte proceduren i forenkling af algebraiske fraktioner, vi vil omskrive den første fraktion ovenfor i dens fakturerede form:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Bemærk, at tallene 2, 3 og 5 gentages i tælleren og nævneren, og at de var nøjagtigt de samme tal, som fraktionen blev forenklet med. I konteksten af algebraiske fraktioner, proceduren er ens, som den er nødvendigt for at faktorere polynomerne i tælleren og nævneren. Derefter skal vi vurdere, om det er muligt at forenkle nogle af dem.

Eksempler

1) Forenkle følgende algebraiske brøk:

4x²y³
16xy⁶

Faktor hver af de ukendte og tal, der er til stede i brøken:

4x²y³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Udfør nu så mange divisioner som muligt, som du gjorde tidligere for den numeriske brøk: Tallene, der vises i både tælleren og nævneren, forsvinder, dvs. de er "skære". Det er også muligt at skrive, at resultatet af hver af disse forenklinger er 1. Holde øje:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

x
2 · 2 · y · y · y

x
4y³

2) Forenkle følgende algebraiske brøk:

4y² - 9x²
2y + 3x

Bemærk, at tælleren for dette algebraisk brøkdel falder ind i et af tilfældene med bemærkelsesværdige produkter, dvs. to kvadraters forskel. For at faktorere det skal du bare omskrive det i sin fakturerede form. Derefter er det muligt at "klippe" de termer, der vises i både nævneren og tælleren som i det foregående eksempel. Holde øje:

4y² - 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x

= 1 · (2y - 3x)

= 2y + 3x

3) Forenkle følgende algebraiske brøk:

Det²(y² - 16x²)
ay + 4ax

Som tidligere gjort, faktor polynomier til stede i tælleren og nævneren. Derefter udfør de opdelinger, der er mulige.

Det²(y² - 16x²)
ay + 4ax

= Det·Det·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

Bemærk, at tælleren er blevet indregnet ved hjælp af to kvadraters forskel og nævneren blev indregnet gennem den fælles faktor. Derudover udtrykket a² kan skrives som produktet a · a. Endelig udfør så mange divisioner som muligt. Navnlig a ved a og (y + 4x) ved (y + 4x):

Det·Det·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1 · 1 · (y - 4x)

= y - 4x

Faktoriseringssager er af største vigtighed for at forenkle algebraiske fraktioner. Nedenfor vises de vigtigste sager og nogle sider, hvor de kan findes mere detaljeret.

Faktoring af algebraiske udtryk

Et polynom kan skrives i sin faktoriserede form, hvis det kan udtrykkes i en af ​​de fire former nedenfor. De præsenterede resultater er deres fakturerede form eller eksempler på, hvordan man faktorerer dem:

1 - Fælles faktor

Hvis alle vilkårene for polynomet har et ukendt eller noget almindeligt tal, er det muligt at sætte dem som bevis. For eksempel i 4x polynomet² + 2x kan vi sætte 2x i bevis. Resultatet bliver:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Bemærk, at når du udfører multiplikationen angivet på det andet medlem (højre side af ligestillingen), bliver resultatet netop det første medlem (venstre side af ligestillingen) på grund af distributionens ejendom multiplikation.

2 - Gruppering

I lyset af det foregående tilfælde kan et polynom, der har fire termer, tages med i gruppering, sammenføjning de almindelige termer to og to og senere indregnes igen, hvis resultaterne forlader dette mulighed. 2x + bx + 2y + ved polynom kan f.eks. Indregnes som følger:

2x + bx + 2y + af

x (2 + b) + y (2 + b)

Bemærk, at (2 + b) gentages i begge nye termer. Så vi kan sætte det som bevis:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - Perfekt kvadratisk trinomial

Når et polynom er et perfekt kvadratisk trinom, skrives det svarende til et af de følgende tre udtryk arrangeret til venstre og i rødt.

x² + 2x + a² = (x + a) (x + a)

x² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

x² - a² = (x + a) (x - a)

Højre side er den fakturerede form af polynomet, som kan bruges til algebraisk fraktion forenkling.

4 - Summen eller forskellen på to terninger

Når polynomet er i den næste form eller kan skrives til det, vil det være en sum af to terninger.

x³ + 3x²ved + 3x² + den³ = (x + a)³

x³ - 3x²ved + 3x² - a³ = (x - a)³

Igen er venstre side, i rødt, det polynom, der kan tages med og omskrives ligesom udtrykkene på højre side.

Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm