DET injektionsfunktion, også kendt som den injektionsfunktion, er et særligt tilfælde af funktion. For at en funktion kan betragtes som injektion, skal vi have følgende forekomst: givet to elementer, x1 og x2, tilhører domænesættet med x1 forskellig fra x2, billeder f (x1) og f (x2) er altid forskellige, det vil sige f (x1) ≠ f (x2). Denne funktion har specifikke egenskaber, der muliggør identifikation af dens graf og også analyse af dannelsesloven.
Læs også: Domæne, kontradomæne og billede - grundlæggende vilkår for forståelse af funktionernes indhold
Hvad er en injektionsfunktion?
For at oprette nogle eksempler på injektorfunktion er det vigtigt at forstå definitionen af denne type funktion. En funktion f: A → B er klassificeret som injektion, hvis, og kun hvis, elementer, der er forskellige fra sæt A, har forskellige billeder i sæt B, dvs.
Eksempel 1:
Nedenfor er et eksempel på injektorfunktion i dve diagramingeningen:
Eksempel 2:
Nedenfor er et eksempel på en ikke-injektionsfunktion. Bemærk, at i
sæt A, der er to forskellige elementer, der har det samme billede i sæt B, hvilket strider mod definitionen af injektorfunktion.
Hvordan beregnes en injektorfunktion?
For at kontrollere, om en funktion injicerer eller ej, er det nødvendigt at analysere opførelsen af dannelsesloven og også det domæne og moddomæne, hvor funktionen er defineret.
Eksempel:
givet funktionen f: R → R, med dannelsesloven f(x) = 2x, kontroller om det er injektor.
Ved dannelsesloven kan vi se, at det kræver en reelt tal af domænet og gør det til dets dobbelte. To forskellige reelle tal, når de ganges med to, giver forskellige resultater. DET beskæftigelsef, som vi kan se, er det en injektorfunktion, for for to værdier på x1 og x2, værdien af f(x1) ≠ f(x2).
Eksempel 2:
givet funktionen f: R → R, med dannelsesloven f(x) = x², kontroller om det er injektor.
Vi kan se, at denne funktion ikke injiceres for dette domæne, da vi har, at billedet af et hvilket som helst tal er lig med billedet af det modsatte, for eksempel:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
Noter det f(2) = f (- 2), som strider mod definitionen af en injektorfunktion.
Eksempel 3:
givet funktionen f: R+ → R, med dannelseslov f(x) = x², kontroller om det er injektor.
Bemærk, at nu er domænet de positive reelle tal og nul. Funktionen forvandler det reelle tal til dets firkant; i dette tilfælde, når domænet er sættet med positive reelle tal, er denne funktion injektionsdygtig, fordi firkanten af to forskellige positive tal altid genererer forskellige resultater. Så det er meget vigtigt at huske, at vi ud over funktionsdannelsesloven skal analysere dets domæne og kontradomæne.
Læs også: Hvad er en omvendt funktion?
Injektionsfunktionsdiagram
For at identificere, om grafen er en injektorfunktion eller ej, skal du bare kontrollere, om der er nogen to forskellige x-værdier, der genererer den samme y-korrespondent, det vil sige kontrollere gyldigheden af definitionen af injektorfunktion.
I det område, hvor vi skal se på grafen, skal funktionen udelukkende være stigende eller udelukkende faldende. Grafik som lignelse eller sinusfunktionen er ikke grafer over injektorfunktioner.
Eksempel 1:
Den stigende linje er grafen for en injektionsfunktion. Bemærk, at den altid stiger, og at der ikke er nogen y-værdi, der har to forskellige korrespondenter.
Eksempel 2:
Grafen for en eksponentiel funktion det er også grafen for en injektorfunktion.
Eksempel 3:
Grafen for en kvadratisk funktion det er altid en lignelse. Når domænet involverer de reelle tal, er det muligt at se, at der er forskellige x-værdier, der har det samme svarende til y, som i punkt F og G, hvilket gør denne graf for en funktion, der ikke er injektor.
Sammenfattende er det nok at kontrollere, om definitionen af en injektorfunktion er gyldig eller ej for denne funktion for at vide, om grafen er en injektorfunktion eller ej.
Øvelser løst
Spørgsmål 1 - (Enem 2017 - PPL) I det første år på gymnasiet på en skole er det sædvanligt for studerende at danse firkantede dans på juni-festen. I år er der 12 piger og 13 drenge i klassen, og der blev dannet 12 forskellige par til banden bestående af en pige og en dreng. Antag, at piger er de elementer, der udgør sæt A og drenge, sæt B, så de dannede par repræsenterer en funktion f fra A til B.
Baseret på disse oplysninger er klassificeringen af den type funktion, der er til stede i dette forhold
A) f injicerer, for for hver pige, der tilhører sæt A, er en anden dreng, der tilhører sæt B, forbundet.
B) f er overvejende, da hvert par er dannet af en pige, der tilhører sæt A, og en dreng, der tilhører sæt B, efterlader en uparret dreng.
C) f indsprøjter, som to piger, der tilhører sæt A par med den samme dreng, der tilhører sæt B, for at involvere alle elever i klassen.
D) f er bindende, da to drenge, der tilhører sæt B, danner et par med den samme pige, der tilhører sæt A.
E) f er overvejende, da det er nok for en pige fra sæt A at danne et par med to drenge fra sæt B, så ingen dreng vil være uden et par.
Løsning
Alternativ A.
Denne funktion er injektiv, fordi der for hvert element i sæt A er en enkelt korrespondent i sæt B. Bemærk, at der ikke er nogen mulighed for, at to piger danser med det samme par, så dette forhold sprøjter.
Spørgsmål 2 - (IME - RJ) Overvej sæt A = {(1,2), (1,3), (2,3)} og B = {1, 2, 3, 4, 5}, og lad funktionen f: A → B således at f (x, y) = x + y.
Det er muligt at sige, at f er en funktion:
A) injektor.
B) Surjective.
C) bijector.
D) par.
E) ulige.
Løsning
Alternativ A.
Når vi analyserer domænet, skal vi:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
Bemærk, at for ethvert to forskellige udtryk i domænet er de relateret til forskellige udtryk i moddomænet, hvilket gør denne funktion til en injektor.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
