Du komplekse tal skyldes behovet for at løse ligninger det har rod for negativt tal, som indtil da ikke var mulig at løse ved at arbejde med reelle tal. Komplekse tal kan repræsenteres på tre måder: a algebraisk form (z = a + bi), sammensat af en reel del Det og en imaginær del B; Det Geometrisk form, repræsenteret i det komplekse plan også kendt som Argand-Gauss-planet; og din trigonometrisk form, også kendt som den polære form. Baseret på deres repræsentation, mens vi arbejder med et numerisk sæt, har komplekse tal veldefinerede operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division og potentiering.
Gennem den geometriske repræsentation i det komplekse plan definerer vi også modulet (repræsenteret af |z|) af et komplekst tal - som er afstanden fra det punkt, der repræsenterer det komplekse tal til oprindelsen - og hvad er argumentet for et komplekst tal - som er vinklen dannet mellem den vandrette akse og sporet, der forbinder oprindelsen til det punkt, der repræsenterer nummeret kompleks.
behov for komplekse tal
I matematik var udvidelsen af et numerisk sæt til et nyt sæt gennem historien noget helt almindeligt. Det viser sig, at matematik i løbet af det har udviklet sig og derefter til imødekomme tidens behov, blev det bemærket, at der var tal, der ikke tilhørte det numeriske sæt, som det henviste til. Sådan var det med fremkomsten af numeriske sæt heltal, rationelle, irrationelle og reelle, og det var ikke anderledes, når der var behov for at udvide sæt af reelle tal til komplekse tal.
Når vi prøver at løse kvadratiske ligninger, det er ret almindeligt, at vi finder kvadratroden af et negativt tal, hvilket er umuligt at løse i sættet med reelle tal, deraf behovet for komplekse tal. Begyndelsen på undersøgelsen af disse tal modtog bidrag fra vigtige matematikere, såsom Giralmo Cardono, men deres sæt blev formaliseret af Gauss og Argand.
Læs også: Geometrisk repræsentation af summen af komplekse tal
algebraisk form af et komplekst tal
Når man forsøgte at løse en kvadratisk ligning som x² = –25, blev det ofte sagt at være uløselig. Imidlertid i et forsøg på at algebriere algebraisk repræsentation, som gør det muligt at udføre operationer med disse tal, selvom du ikke kan beregne kvadratroden af et negativt tal.
For at lette løsningen af situationer, hvor du arbejder med kvadrat rod med et negativt tal, imaginær enhed.
Så når vi analyserer den præsenterede ligning x² = -25, har vi det:
Løsningerne til ligningen er således -5jeg e5jeg.
For at definere den algebraiske form skal brev jeg, kendt som imaginær enhed af et komplekst tal. Et komplekst tal er repræsenteret af:
z = Det + Bjeg
På hvilke Det og B er reelle tal.
Det: reel del, angivet med a = Re (z);
B: imaginær del, angivet med Im (z);
jeg: imaginær enhed.
Eksempler
Det) 2 + 3jeg
B) -1 + 4jeg
ç) 5 – 0,2jeg
d) -1 – 3jeg
når reelle del er nul, nummeret er kendt som ren imaginærfor eksempel -5jeg og 5jeg de er rene forestillinger, fordi de ikke har nogen reel del.
Når den imaginære del er nul, er det komplekse tal også et reelt tal.
Operationer med komplekse tal
Som ethvert numerisk sæt skal operationerne være veldefineretDerfor er det muligt at udføre de fire grundlæggende operationer af komplekse tal under hensyntagen til den præsenterede algebraiske form.
Tilføjelse af to komplekse tal
At udføre tilføjelse af to komplekse tal z1 ez2, vi tilføjer den rigtige del af z1 ez2 og hhv. summen af den imaginære del.
Være:
z1 = a + bjeg
z2 = c + djeg
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)jeg
Eksempel 1
Realisering af summen af z1 og z2.
z1 = 2 + 3jeg
z2 = 1 + 2jeg
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)jeg
z1 +z2= 3 + 5jeg
Eksempel 2
Realisering af summen af z1 og z2.
z1 = 5 – 2jeg
z2 = – 3 + 2jeg
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)jeg
z1+z2 = (5 – 3) + 0jeg
z1 +z2= 3 + 0jeg = 3
Se også: Geometrisk repræsentation af summen af komplekse tal
Subtraktion af to komplekse tal
Før vi taler om subtraktion, skal vi definere, hvad der er omvendt af et komplekst tal, det vil sige z = a + bjeg. Den inverse af z, repræsenteret af –z, er det komplekse tal –z = –a –bjeg.
For at udføre subtraktionen mellem z1og -z2, samt derudover vil vi gøre det subtraktion mellem reelle dele og mellem imaginære dele separat, men det er nødvendigt at forstå det -z2 det er det omvendte af et komplekst tal, hvilket gør det nødvendigt at spille tegnspil.
Eksempel 1
Udførelse af subtraktion af z1 og z2.
z1 = 2 + 3jeg
z2 = 1 + 2jeg
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)jeg
z1–z2= 1 + 1jeg = 1+ jeg
Eksempel 2
Udførelse af subtraktion af z1 og z2.
z1= 5 – 2jeg
z2 = – 3 + 2jeg
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)jeg
z1–z2= (5 + 3) + (–4)jeg
z1 –z2= 8 + (–4)jeg
z1 –z2= 8 –4jeg
Imaginære enhedskræfter
Før vi taler om multiplikation, er vi nødt til at forstå kraften i den imaginære enhed. I søgningen efter en metode til beregning af kræfter på jegingen, er det nødvendigt at indse, at disse kræfter opfører sig på en cyklisk måde. Lad os beregne nogle til dette styrker i jeg.
Det viser sig, at de næste kræfter ikke er andet end dets gentagelse, bemærk at:
jeg 4 = jeg 2 · jeg 2 = (–1) (–1) = 1
jeg 5 = jeg 2 · jeg 3 = (–1) (–jeg) = jeg
Når vi fortsætter med at beregne kræfterne, vil svarene altid være elementer i sættet {1, i, –1, -jeg} og derefter for at finde en strøm fra enheden jegingen, vi deler n (eksponenten) med 4, og hvileaf denne division (r = {0, 1, 2, 3}) bliver den nye eksponent for jeg.
Eksempel1
Beregning af i25
Når vi deler 25 med 4, vil kvotienten være 6, og resten er lig med 1. Så vi skal:
jeg 25 = jeg1 = jeg
Eksempel 2
Beregning af jeg 403
Når vi deler 403 med 4, vil kvotienten være 100, fordi 100 · 4 = 400, og resten vil være 3, så vi bliver nødt til at:
jeg 403 =jeg 3 = -jeg
Multiplikation af komplekse tal
For at udføre multiplikationen af to komplekse tal, lad os anvende distribuerende ejendom. Være:
z1= a + bjeg
z2= c + djegderefter produktet:
z1 · z2 = (a + bjeg) (c + djeg), der anvender den distribuerende ejendom,
z1 · z2 = ac + annoncejeg + cbjeg + bdjeg 2, men som vi har set, jeg ² = -1
z1 · z2 = ac + annoncejeg + cbjeg - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)jeg
Ved hjælp af denne formel er det muligt at finde produktet med to komplekse tal, men i a Generelt behøver det ikke at blive dekoreret, da vi til beregningen kun anvender ejendommen distribuerende.
Eksempel
Beregning af produktet af (2 + 3jeg) (1 – 4jeg):
(2+3jeg) (1 – 4jeg) = 2 – 8jeg + 3jeg– 12jeg ², husker det i² = -1:
(2 + 3jeg) (1 – 4jeg) = 2 – 8jeg + 3jeg+ 12
(2 + 3jeg) (1 – 4jeg) = (2 + 12) + (– 8 + 3)jeg
(2+3jeg) (1 – 4jeg) = 14 – 5jeg
Også adgang: Complex taladdition, subtraktion og multiplikation
Kompleks nummerkonjugat
Før vi taler om deling, skal vi forstå, hvad konjugatet af et komplekst tal er. Konceptet er simpelt at finde konjugatet af et komplekst tal, bare at vekslemos tegnet på den imaginære del.
deling af to komplekse tal
At udføre deling af to komplekse tal, er vi nødt til at multiplicere fraktionen med konjugatet af nævneren, så hvad der er den virkelige del, og hvad der er den imaginære del, er veldefineret.
Eksempel
Beregning af deling af (6 - 4jeg): (4 + 2jeg)
Se også: Modsat, konjugeret og ligestilling af komplekse tal
Kompleksplan eller Argand-Gauss-plan
Kendt som kompleks plan eller En planrgand-gauss, tillader han repræsentation i geometrisk form af et komplekst tal er denne plan en tilpasning i Cartesian fly at repræsentere komplekse tal. Den vandrette akse er kendt som reelle delakse Re (z), og den lodrette akse er kendt som akse for den imaginære del Im (z). Så det komplekse tal repræsenteret af a + bjeg genererer punkterne i det komplekse plan dannet af det ordnede par (a, b).
Eksempel
Repræsentation af nummeret 3 + 2jeg i den geometriske form Z (3,2).
Kompleks nummer modulo og argument
Modulet af et komplekst tal er geometrisk afstand fra punkt (a, b) som repræsenterer dette tal i det komplekse plan til oprindelsendet vil sige punktet (0,0).
Som vi kan se, | z | er hypotenusen af højre trekantDerfor kan det beregnes ved at anvende Pythagoras sætning, så vi er nødt til at:
Eksempel:
Beregning af modulet for z = 1 + 3jeg
O Detargument af et komplekst tal, geometrisk, er vinkel dannet af den vandrette akse og | z |
For at finde vinkelværdien skal vi:
Målet er at finde vinklen θ = arg z.
Eksempel:
Find argumentet for komplekse tal: z = 2 + 2jeg:
Da a og b er positive, ved vi, at denne vinkel er i den første kvadrant, så lad os beregne | z |.
Kendskab til | z | er det muligt at beregne sinus og cosinus.
Da a og b i dette tilfælde er lig med 2, vil vi, når vi beregner sinθ, finde den samme løsning for cosinus.
At kende værdierne for sinθ og cosθ, når du konsulterer tabellen over bemærkelsesværdige vinkler og ved det θ hører til den første kvadrant, så θ kan findes i grader eller radianer, så vi konkluderer hvad:
Trigonometrisk eller polær form
Repræsentationen af det komplekse tal i trigonometrisk form det er kun muligt, når vi har forstået begrebet modul og argument. Baseret på denne repræsentation udvikles vigtige koncepter til undersøgelse af komplekse tal på et mere avanceret niveau. For at udføre den trigonometriske repræsentation husker vi dens algebraiske form z = a + bi, men når vi analyserer det komplekse plan, skal vi:
Ved at erstatte, i algebraisk form, værdierne for a = | z | cos θ og b = | z | sen θ, skal vi:
z = a + bjeg
Med z = | z | cos θ + | z | senθ jeg, lægge | z | som bevis, når vi frem til formlen for den trigonometriske form:
z = | z | (cos θ + jeg · Synd θ) |
Eksempel: Skriv i trigonometrisk form nummeret
For at skrive i trigonometrisk form har vi brug for argumentet og modulet af z.
1. trin - Beregning af | z |
Ved at kende | z | er det muligt at finde værdien af θ ved at se tabellen over bemærkelsesværdige vinkler.
Det er nu muligt at skrive tallet z i sin trigonometriske form med vinklen i grader eller med vinklen målt i radianer.
Læs også: Stråling af komplekse tal i trigonometrisk form
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (UFRGS) Givet de komplekse tal z1 = (2, –1) og z2 = (3, x), det er kendt, at produktet mellem z1 og z2 er et reelt tal. Så x er lig med:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Løsning
Alternativ D.
For at produktet skal være et reelt tal, er den imaginære del lig med nul.
Ved at skrive disse tal i algebraisk form skal vi:
z1 = 2 – 1jeg og z2 = 3 + xjeg
z1 · Z2 = (2 – 1jeg) (3 + xjeg)
z1 · Z2 = 6 + 2xjeg –3jeg - xjeg ²
z1 · Z2 = 6 + 2xjeg –3jeg + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)jeg
Da vores interesse er, at den imaginære del er lig med nul, så løser vi 2x - 3 = 0
Spørgsmål 2 - (UECE) Hvis i er det komplekse tal, hvis firkant er lig med -1, så er værdien 5jeg 227 + jeg 6 – jeg 13 det er det samme som:
Det) jeg + 1
b) 4jeg –1
c) -6jeg –1
d) -6jeg
Løsning
Alternativ C.
For at løse dette udtryk er det nødvendigt at finde resten af hvert af tallene i division med 4.
227: 4 resulterer i et kvotient på 56 og en rest på 3.
jeg 227 = jeg 3 = –jeg
6: 4 resulterer i kvotient 1 og resten 2.
jeg 6 = jeg 2 = –1
13: 4 resulterer i kvotient 3 og resten 1.
jeg 13 = jeg1 = jeg
Så vi skal:
5jeg 227 + jeg 6 – jeg 13
5 (–jeg) + (–1) – jeg
–5jeg –1 – jeg
–6jeg – 1
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
