Blandt måderne til at finde den numeriske værdi af x er en proces også kendt som find rødderne til en ligning eller finde løsningen på en ligning, skille sig ud: Bhaskara formel Det er proces med at udfylde firkanter. Sidstnævnte er fokus for dagens tekst.
Antallet af løsninger til en ligning er angivet efter dens grad. Derfor har førstegradsligninger kun en løsning, tredjegradsligninger har tre løsninger, og kvadratiske ligninger har to løsninger, også kaldet rødder..
Andegradsligninger i deres reducerede form kan skrives som følger:
økse2 + bx + c = 0
kvadrat færdiggørelsesmetode
I hvilket tilfælde er den kvadratiske ligning et perfekt kvadratisk trinom
Andegradsligninger som følge af et bemærkelsesværdigt produkt er kendt som perfekt firkantet trinomial. For at finde sine rødder vil vi bruge metoden eksemplificeret nedenfor:
Eksempel: Beregn rødderne til x-ligningen2 + 6x + 9 = 0.
Bemærk, at koefficienten b er 6 = 2 · 3. For at skrive det i form af et bemærkelsesværdigt produkt skal du bare kontrollere, om c = 32, hvilket er sandt, siden 32 = 9 = c. På denne måde kan vi skrive:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Bemærk, at et bemærkelsesværdigt produkt er produktet mellem to lige polynomer. I tilfælde af denne ligning vil vi have:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Et produkt er kun lig med nul, når en af dets faktorer er lig med nul. Derfor er det nødvendigt for (x + 3) (x + 3) = 0, at (x + 3) = 0 eller (x + 3) = 0. Derfor er de to lige resultater for x-ligningen2 + 6x + 9 = 0, som er: x = - 3 eller x = - 3.
Kort sagt: for at løse x-ligningen2 + 6x + 9 = 0, skriv:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 eller x = - 3
I hvilket tilfælde den kvadratiske ligning ikke er et perfekt kvadratisk trinomium
En ligning af det andet, hvor koefficient b og koefficient c ikke opfylder de ovenfor etablerede relationer, er ikke et perfekt kvadratisk trinomium. I dette tilfælde kan løsningsmetoden, der er fremhævet ovenfor, bruges med tilføjelse af nogle få trin. Bemærk følgende eksempel:
Eksempel: Beregn rødderne til x-ligningen2 + 6x - 7 = 0.
Bemærk, at denne ligning ikke er et perfekt kvadratisk trinomium. For at det kan være, kan vi bruge følgende operationer:
Bemærk, at b = 2 · 3, så i det første medlem er udtrykket, der skal vises, x2 + 6x + 9, fordi i dette udtryk er b = 2 · 3 og c = 32.
Tilføj denne til denne "transformation"2 på de to medlemmer af denne ligning "overfør" - 7 til det andet medlem, udfør de mulige operationer og observer resultaterne:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
Dette sidste trin skal opdeles i to ligninger, da roden til 16 enten kan være 4 eller - 4 (dette forekommer kun i ligninger. Hvis du bliver spurgt, hvad roden til 16 er, er svaret bare 4). Så det er nødvendigt at finde alle mulige resultater. Fortsætter:
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
x = 4 - 3 eller x = - 4 - 3
x = 1 eller x = - 7
I hvilket tilfælde er koefficienten "a" ikke lig med 1
De tidligere tilfælde er beregnet til kvadratiske ligninger, hvor koefficienten "a" er lig med 1. Hvis koefficienten "a" er forskellig fra 1, skal du bare dele hele ligningen med værdien "a" og fortsætte med beregningerne på samme måde som i det foregående tilfælde.
Eksempel: Beregn 2x rødder2 + 16x - 18 = 0
Bemærk, at a = 2. Så del hele ligningen med 2 og forenkle resultaterne:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x - 9 = 0
Når dette er gjort, skal du gentage procedurerne i den foregående sag.
x2 + 8x - 9 = 0
x2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 eller x + 4 = –5
x = 5 - 4 eller x = - 5 - 4
x = 1 eller x = - 9
Bemærkelsesværdige produkter og andengradsligninger: Oprindelsen til metoden med kvadratisk afslutning
De kvadratiske ligninger ligner meget de bemærkelsesværdige produkter sum kvadrat og kvadrat af forskellen.
Summen i firkant er for eksempel en sum af to monomier i firkant. Holde øje:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Det første medlem af ovennævnte lighed er kendt som bemærkelsesværdigt produkt og det andet hvordan perfekt firkantet trinomial. Sidstnævnte ligner meget en ligning af anden grad. Holde øje:
Perfekt firkantet trinomial: x2 + 2kx + k2
Andegradsligning: økse2 + bx + c = 0
På den måde, hvis der er nogen måde at skrive en kvadratisk ligning som et bemærkelsesværdigt produkt, måske er der også en måde at finde dine resultater uden brug af formlen Bhaskara.
For at gøre dette skal du bemærke, at a = 1, b = 2 · k og c = k i det bemærkelsesværdige produkt ovenfor2. På denne måde er det muligt at skrive ligninger, der opfylder disse krav i form af et bemærkelsesværdigt produkt.
Så se på koefficienterne i ligningen. Hvis “a” er forskellig fra 1, divideres hele ligningen med værdien af “a”. I modsat fald overhold koefficienten “b”. Den numeriske værdi på halvdelen af denne koefficient skal svare til den numeriske værdi af kvadratroden af koefficienten "c". Matematisk givet ligningen økse2 + bx + c = 0, hvis a = 1 og derudover:
B = c
2
Så du kan skrive denne ligning sådan:
økse2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Og dens rødder vil være - B og + b.
2 2
Derfor er al den teori, der bruges til at beregne rødderne til kvadratiske ligninger ved hjælp af metoden til at udfylde firkanter.
Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm