EN identitetsmatrix er en særlig slags hovedkvarter. Vi kender som identitetsmatrix In kvadratmatricen af orden n, der har alle led på diagonalen lig med 1 og led, der ikke hører til hoveddiagonalen, lig med 0. Identitetsmatrixen betragtes som det neutrale element i multiplikation, det vil sige hvis vi multiplicerer en matrix M ved identitetsmatrixen finder vi som et resultat selve matricen M.
Se også: Hvad er determinanten for en matrix?
Emner i denne artikel
- 1 - Resumé om identitetsmatrixen
-
2 - Hvad er identitetsmatrixen?
- ? Identitetsmatrixtyper
- 3 - Identitetsmatrixens egenskaber
- 4 - Multiplikation af identitetsmatrixen
- 5 - Løste øvelser om identitetsmatrix
Sammenfatning om identitetsmatrix
Identitetsmatrixen er den kvadratiske matrix med diagonale hovedelementer lig med 1 og med de øvrige elementer lig med 0.
Der er identitetsmatricer af forskellig rækkefølge. Vi repræsenterer ordens identitetsmatrix n af I n.
Identitetsmatrixen er det neutrale element i matrixmultiplikation, dvs. \(A\cdot I_n=A.\)
Produktet af en kvadratisk matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.
Hvad er identitetsmatrix?
Identitetsmatrixen er en speciel type kvadratisk matrix. En kvadratisk matrix er kendt som en identitetsmatrix, hvis den har alle elementer på hoveddiagonalen lig med 1 og alle andre elementer lig med 0. Så i hver identitetsmatrix:
➝ Identitetsmatrixtyper
Der er identitetsmatricer af forskellig rækkefølge. rækkefølgen n er repræsenteret af In. Lad os se nedenfor nogle matricer af andre ordrer.
Bestil 1 identitetsmatrix:
\(I_1=\venstre[1\højre]\)
Ordre 2 identitetsmatrix:
\(I_2=\venstre[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Ordre 3 identitetsmatrix:
\(I_3=\venstre[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Ordre 4 identitetsmatrix:
\(I_4=\venstre[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Ordre 5 identitetsmatrix:
\(I_5=\venstre[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Successivt kan vi skrive identitetsmatricer af forskellig rækkefølge.
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen ;)
Identitetsmatrixegenskaber
Identitetsmatrixen har en vigtig egenskab, da den er det neutrale element i multiplikationen mellem matricerne. Det betyder at enhver matrix ganget med identitetsmatrixen er lig med sig selv. Altså givet matrixen M af orden n,vi har:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
En anden vigtig egenskab ved identitetsmatrixen er, at produkt af en kvadratisk matrix og dens omvendt matrix er identitetsmatrixen. Givet en kvadratisk matrix M af orden n, produktet af M ved dets inverse er givet ved:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Læs også: Hvad er en trekantet matrix?
Multiplikation af identitetsmatrix
Når vi multiplicerer en matrix M med ordens identitetsmatrix n, får vi matrixen M som et resultat. Lad os nedenfor se et eksempel på produktet af matrixen M af orden 2 ved identitetsmatrixen af orden 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) det er \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Forudsat at:
\(A\cdot I_n=B\)
Vi har:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Så produktet af A ved \(I\) det vil være:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Bemærk, at vilkårene i matrix B er identiske med vilkårene i matrix A, det vil sige:
\(A\cdot I_n=\venstre[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Eksempel:
Væren M Matrixen \(M=\ \venstre[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), beregn produktet mellem matrixen M og matrixen \(I_3\).
Løsning:
Ved at udføre multiplikationen har vi:
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\rightend]{matrix
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot 1\\cdot 1\\cdot 1\\cdot 1\\+ \ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\venstre(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\venstre(-2\højre)\cdot1+1\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot0&3 cdot 1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Løste øvelser om identitetsmatrix
Spørgsmål 1
Der er en kvadratisk matrix af orden 3, som er defineret af \(a_{ij}=1 \) hvornår \(i=j\) det er \(a_{ij}=0\) det er hvornår \(i\neq j\). Denne matrix er som:
EN) \( \venstre[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
OG) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Løsning:
Alternativ D
Ved at analysere matrixen har vi:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Så matrixen er lig med:
\(\venstre[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
spørgsmål 2
(UEMG) Hvis den inverse matrix af \(A=\venstre[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \venstre[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), værdien af x er:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Løsning:
Alternativ A
Når vi multiplicerer matricerne, indser vi, at deres produkt er lig med identitetsmatrixen. Ved at beregne produktet af den anden række af matrixen ved den første kolonne af dens inverse, har vi:
\(3\cdot5+x\cdot\venstre(-3\højre)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Vil du referere til denne tekst i et skole- eller akademisk arbejde? Se:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Identitetsmatrix"; Brasilien skole. Tilgængelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Tilgået den 20. juli 2023.
At forstå anvendelsen af matricer er en vigtig kendsgerning for ikke at blive efterladt i optagelsesprøven. Anvendelsen af matricerne i optagelsesprøverne udføres ved at relatere flere af begreberne matricer i blot ét spørgsmål.
Lær, hvordan du beregner determinanterne for kvadratmatricer af orden 1, 2 og 3. Lær, hvordan du bruger Sarrus' regel. Kend determinanters egenskaber.
Forstå her definitionerne og formaliseringerne af matrixstrukturen. Se også, hvordan man betjener dens elementer og de forskellige typer matricer.
Klik her og lær, hvad en symmetrisk matrix er. Kend dens egenskaber og opdag, hvordan den adskiller sig fra en antisymmetrisk matrix.
Forstå, hvad en transponeringsmatrix er. Kende egenskaberne for en transponeret matrix. Lær, hvordan du finder den transponerede matrix af en given matrix.
Lær at beregne multiplikationen mellem to matricer, samt vide, hvad identitetsmatrixen er, og hvad den inverse matrix er.
Kend Cramers regel. Lær at bruge Cramers regel til at finde løsninger på et lineært system. Se bearbejdede eksempler på Cramers regel.
Kender du Sarrus-reglen? Lær, hvordan du bruger denne metode til at finde determinanten for 3x3-matricer.
Cringe
Slangen tilpasset fra engelsk bruges til at betegne en person, der ses som tarvelig, skamfuld, forældet og ude af mode.
Neurodiversitet
Et udtryk opfundet af Judy Singer, det bruges til at beskrive de mange forskellige måder, det menneskelige sind opfører sig på.
PL af Fake News
Også kendt som PL2660, er det et lovforslag, der etablerer mekanismer til regulering af sociale netværk i Brasilien.
