symmetrisk matrix er hovedkvarter hvor hvert element \(a_{ij}\) er lig med elementet \(a_{ji}\) for alle værdier af i og j. Følgelig er hver symmetrisk matrix lig med dens transponering. Det er også værd at nævne, at hver symmetrisk matrix er kvadratisk, og at hoveddiagonalen fungerer som en symmetriakse.
Læs også:Matrix addition og subtraktion - hvordan regner man?
Abstrakt om symmetrisk matrix
I en symmetrisk matrix, \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og j.
Hver symmetrisk matrix er kvadratisk.
Hver symmetrisk matrix er lig med dens transponering.
Elementerne i en symmetrisk matrix er symmetriske omkring hoveddiagonalen.
Mens i den symmetriske matrix \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og j; i en antisymmetrisk matrix, \(a_{ij}=-a_{ji}\) for alle i og j.
Hvad er en symmetrisk matrix?
En symmetrisk matrix er en kvadratisk matrix hvor \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) for hvert i og hvert j. Det betyder at \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), og så videre, for alle mulige værdier af i og j. Husk, at de mulige værdier af i svarer til rækkerne i matrixen, og de mulige værdier af j svarer til matrixens kolonner.
Eksempler på symmetriske matricer
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Eksempler på ikke-symmetriske matricer (overvej \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Vigtig: At sige, at en matrix ikke er symmetrisk, betyder at vise det \(a_{ij}≠a_{ji}\) for i det mindste nogle i og j (hvilket vi kan se ved at sammenligne de foregående eksempler). Dette er forskelligt fra det antisymmetriske matrix-koncept, som vi vil se senere.
Hvad er egenskaberne for den symmetriske matrix?
Hver symmetrisk matrix er kvadratisk
Bemærk, at definitionen af en symmetrisk matrix er baseret på kvadratiske matricer. Således har hver symmetrisk matrix det samme antal rækker som antallet af kolonner.
Hver symmetrisk matrix er lig med dens transponering
Hvis A er en matrix, er dens omsat (\(A^T\)) er defineret som den matrix, hvis rækker er kolonnerne af A, og hvis kolonner er rækkerne af A. Så hvis A er en symmetrisk matrix, har vi \(A=A^T\).
I den symmetriske matrix "reflekteres" elementerne i forhold til hoveddiagonalen
Som \(a_{ij}=a_{ji}\) i en symmetrisk matrix er elementerne over hoveddiagonalen "refleksioner" af elementerne nedenfor af diagonalen (eller omvendt) i forhold til diagonalen, således at hoveddiagonalen fungerer som en akse af symmetri.
Hvad er forskellene mellem den symmetriske matrix og den antisymmetriske matrix?
Hvis A er en symmetrisk matrix, så \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og alle j, som vi studerede. I tilfælde af den antisymmetriske matrix er situationen anderledes. Hvis B er en antisymmetrisk matrix, så \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) for hvert i og hvert j.
Bemærk at dette resulterer i \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), det er, de vigtigste diagonale elementer er nul. En konsekvens af dette er, at transponeringen af en antisymmetrisk matrix er lig med dens modsætning, dvs. hvis B er en antisymmetrisk matrix, så \(B^T=-B\).
Eksempler på antisymmetriske matricer
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Se også: Identitetsmatrix — den matrix, hvor de diagonale hovedelementer er lig med 1 og de resterende elementer er lig med 0
Løste øvelser på symmetrisk matrix
Spørgsmål 1
(Unicentro)
hvis matrixen \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) er symmetrisk, så værdien af xy er:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Løsning:
Alternativ A
Hvis den givne matrix er symmetrisk, så er elementerne i symmetriske positioner ens (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Derfor skal vi:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Udskiftning af den første ligning i den anden konkluderer vi det \(y=3\), snart:
\(x=2\) det er \(xy=6\)
spørgsmål 2
(UFSM) Vel vidende, at matrixen \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) er lig med dets transponering, værdien af \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Løsning:
Alternativ C
Da den givne matrix er lig med dens transponering, er den en symmetrisk matrix. Således er elementer i symmetriske positioner ens (\(a_{ij}=a_{ji}\)), dvs.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Ved den første ligning, x=-6 eller x=6. Ved den tredje ligning får vi det rigtige svar: x= -6. Ved den anden ligning, y=11.
Snart:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm