Tangent: hvad det er, hvordan man beregner det, eksempler

EN tangent (forkortet som tg eller tan) er en trigonometrisk funktion. For at bestemme tangenten af ​​en vinkel kan vi bruge forskellige strategier: beregn forholdet mellem vinklens sinus og cosinus, hvis de er kendte; brug en tangenttabel eller en lommeregner; udregn forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende ben, hvis den pågældende vinkel er intern (spids) af en retvinklet trekant, bl.a.

Læs også: Hvad bruges den trigonometriske cirkel til?

Emner i denne artikel

  • 1 - Resumé om tangent
  • 2 - Tangent af en vinkel
  • 3 - Tangent af bemærkelsesværdige vinkler
  • 4 - Hvordan beregner man tangenten?
    • → Graf over tangentfunktionen
  • 5 - Tangenters lov
  • 6 - Trigonometriske forhold
  • 7 - Løste øvelser på tangent

resumé på tangent

  • Tangent er en trigonometrisk funktion.

  • Tangens af en indre vinkel til en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.

  • Tangensen af ​​enhver vinkel er forholdet mellem sinus og cosinus for denne vinkel.

  • Funktionen \(f (x)=tg\ x\) er defineret for vinkler x udtrykt i radianer, således at cos \(cos\ x≠0\).

  • Grafen for tangentfunktionen viser lodrette asymptoter for værdierne, hvor \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, ligesom \(x=-\frac{π}2\).

  • Tangentloven er et udtryk, der i enhver trekant forbinder tangenterne af to vinkler og siderne modsat disse vinkler.

Tangent af en vinkel

Hvis α er en vinkel indre af en retvinklet trekant, tangensen af ​​α er forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben og længden af ​​det tilstødende ben:

Illustration af en retvinklet trekant ved siden af ​​tangentformlen til beregning af tangenten af ​​en vinkel.

For enhver vinkel α er tangenten forholdet mellem sin α og cosinus af α, hvor \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

Det skal bemærkes, at hvis α er en vinkel i 1. eller 3. kvadrant, vil tangenten have et positivt fortegn; men hvis α er en vinkel i 2. eller 4. kvadrant, vil tangenten have et negativt fortegn. Dette forhold stammer direkte fra fortegnsreglen mellem fortegnene for sinus og cosinus for hver α.

Vigtig: Bemærk, at tangenten ikke eksisterer for værdier af α hvor \(cos\ α=0\). Dette sker for vinkler på 90°, 270°, 450°, 630° og så videre. For at repræsentere disse vinkler på en generel måde bruger vi radiannotation: \(\frac{ π}2+kπ\), med k hel.

Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen ;)

Tangent af bemærkelsesværdige vinkler

Brug af udtrykket \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kan vi finde tangenterne af bemærkelsesværdige vinkler, som er vinklerne på 30°, 45° og 60°:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

Interessant: Ud over disse kan vi analysere tangentværdierne for vinklerne 0° og 90°, som også er meget brugt. Da sin 0° = 0, konkluderer vi, at tan 0° = 0. For 90°-vinklen, da cos90° = 0, eksisterer tangenten ikke.

Hvordan beregner man tangenten?

For at beregne tangenten bruger vi formlen tg α=sin αcos α, der bruges til at beregne tangenten af ​​enhver vinkel. Lad os se på nogle eksempler nedenfor.

  • Eksempel 1

Find tangenten til vinklen α i den rigtige trekant nedenfor.

Illustration af en retvinklet trekant til beregning af tangenten.

Løsning:

Med hensyn til vinklen α er siden af ​​mål 6 den modsatte side og siden af ​​mål 8 er den tilstødende side. Sådan her:

\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)

  • Eksempel 2

At vide det \(sin\ 35°≈0,573\) og cos\(35°≈0,819\), find den omtrentlige værdi for 35°-tangenten.

Løsning:

Da tangens af en vinkel er forholdet mellem sinus og cosinus af denne vinkel, har vi:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)

\(tg\ 35°≈0,700\)

tangentfunktion

Funktionen fx=tg x er defineret for vinkler x udtrykt i radianer, således at \(cos\ x≠0\). Det betyder, at tangensfunktionens domæne er udtrykt ved:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

Desuden alle reelle tal er billedet af tangentfunktionen.

→ Graf over tangentfunktionen

 Graf over tangentfunktionen.

Bemærk, at grafen for tangentfunktionen har lodrette asymptoter for værdierne hvor \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, ligesom \( x=-\frac{π}2\). For disse værdier af x, tangenten er ikke defineret (det vil sige, tangenten findes ikke).

Se også: Hvad er domæne, rækkevidde og billede?

loven om tangenter

Loven om tangenter er a udtryk, der forbinder, i en trekant enhver, tangenterne af to vinkler og siderne modsat disse vinkler. Overvej f.eks. vinklerne α og β i trekant ABC nedenfor. Bemærk at siden CB = a er modsat vinklen α og at siden AC = b er modsat vinklen β.

Illustration af enhver trekant for at angive, hvad tangentloven bestemmer.

Loven om tangenter siger, at:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )

trigonometriske forhold

Til trigonometriske forhold er de trigonometriske funktioner, der arbejdes på den rette trekant. Vi fortolker disse forhold som forhold mellem siderne og vinklerne i denne type trekant.

Repræsentation af formlerne for trigonometriske forhold, de trigonometriske funktioner arbejdede i den retvinklede trekant.

Løste øvelser på tangent

Spørgsmål 1

Lad θ være en vinkel på den anden kvadrant, således at sin\(sin\ θ≈0,978\), så tgθ er cirka:

A) -4.688

B) 4.688

C) 0,2086

D) -0,2086

E) 1

Løsning

Alternativ A

hvis \(sin\ θ≈0,978\), så ved at bruge trigonometriens grundlæggende identitet:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0,978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0,956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)

Da θ er en vinkel i den anden kvadrant, så er cosθ negativ, derfor:

\(cos\ θ≈- 0,2086\)

Snart:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)

spørgsmål 2

Betragt en retvinklet trekant ABC med ben AB = 3 cm og AC = 4 cm. Tangens af vinkel B er:

EN) \(\frac{3}4\)

B) \(\frac{3}5\)

W) \(\frac{4}3\)

D) \(\frac{4}5\)

OG) \(\frac{5}3\)

Løsning:

Alternativ C

Ved udsagnet, benet modsat vinklen \(\hat{B}\) er AC måler 4 cm og benet støder op til vinklen \(\hat{B}\) er AB med et mål på 3 cm. Sådan her:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer

Lær, hvordan du bygger den trigonometriske cirkel, ud over at forstå, hvordan reduktionen til den første kvadrant fungerer, og hvordan du studerer trigonometri gennem den.

Kend de trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens. Forstå grafen for hver af de trigonometriske funktioner. Se egenskaberne ved disse funktioner.

radian, vinkel, grad, omkreds, bue, omkredsbue, grad til radian transformation, definition radian, vinkelmål, buemål, omkredslængde i radian, længde af omkreds.

Se, hvordan du beregner værdien af ​​sinus, cosinus og tangens af en vinkel, og lær, hvilke af forholdene du skal bruge i en problemsituation.

Lær, hvad trigonometri undersøgelser. Ved, hvad der er de vigtigste trigonometriske identiteter og funktioner, og ved, hvordan man anvender trigonometri.

Ved, hvad den retvinklede trekants særlige kendetegn er, og lær at beregne dens areal og omkreds. Se også, hvordan trigonometri kan anvendes på det.

Klik og lær, hvad bemærkelsesværdige vinkler er for trigonometri, og find ud af, hvordan du finder deres sinus-, cosinus- og tangentværdier.

Hvad er breddegrad?

Hvad er breddegrad?

Breddegrad er afstanden i grader mellem ethvert punkt på overfladen af Jorden og ækvator linje, h...

read more

Edict of Encceja PPL 2023: se!

O meddelelse om Encceja PPL 2023 blev offentliggjort i Federal Official Gazette (DOU) denne tirsd...

read more

Encceja 2023: gratis kursus modtager tilmelding

Gratis og online kursus rettet mod Encceja 2023 er åben for tilmelding. Interesserede parter skal...

read more