O apotem af en polygon er et segment med endepunkter i midten af polygonen og i midten af en af siderne. Dette segment danner en 90° vinkel med den respektive side af polygonen.
For at beregne apotemets mål er det nødvendigt at overveje egenskaberne for den pågældende polygon. Afhængigt af den geometriske form er det muligt at konstruere en formel for at opnå denne måling. En vigtig observation er, at målet for apotemet for en regulær polygon er lig med målet for radius af omkredsen indskrevet i polygonen.
Læs også: Hvad er halveringslinjen?
Resumé om apotemet
Apotemet er det segment af en polygon, der forbinder midten (mødepunktet for vinkelrette halveringslinjer) med midtpunktet af en af siderne.
Vinklen mellem apotemet og den respektive side af polygonen måler 90°.
Målingen af apotem af en regulær polygon er lig med målet for radius af cirklen indskrevet i polygonen.
Apotemet OM for en ligesidet sidetrekant l er givet ved formlen
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotemet OM af et kvadrat med side l er givet ved formlen
\(OM = \frac{l}2\)
Apotemet OM af en regulær sekskant på den ene side l er givet ved formlen
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotemet for en pyramide er det segment, der forbinder toppunktet med midtpunktet af en af basens kanter, og dets mål kan opnås ved Pythagoras sætning.
Eksempler på apotem
For at finde apotemet for en polygon skal vi konstruere linjestykke, der forbinder midten af polygonen med midtpunktet af en af siderne. Husk, at midten af en polygon er der, hvor halveringslinjen mødes.
I disse eksempler blev apotemet betragtet i plane polygoner. Der er dog et rumobjekt, der har en anden slags apoteme: pyramiden.
I en pyramide er der to typer apotem: basens apotem, som er apotem for polygonen, der danner bunden af pyramiden, og apotem af pyramiden, som er segment, der forbinder toppunktet til midtpunktet af en basekant (det vil sige, det er højden af en sideflade af basen). pyramide).
I kvadratbaseeksemplet nedenfor er segment OM apotem af basen og segment VM er apotem for pyramiden, hvor M er midtpunktet af BC.
Hvad er formlerne for apotemet?
Ved at kende karakteristikaene for en polygon, især regulære polygoner, kan vi udvikle formler til beregning af apotemets mål. Lad os se, hvad disse formler er for de vigtigste regulære polygoner.
Ligesidet trekant apotem formel
Ved ligesidet trekant tilfælde, højden og medianen i forhold til en given side er de samme. Det betyder, at polygonens centrum falder sammen med barycenter af trekanten. Således deler punktet O højden AM som følger:
\(AO = \frac{2}3 AM\) det er \(OM=\frac{1}3 AM\)
Husk at mål på højden af en ligesidet trekant l er givet af:
\(Højde\ trekant\ ligesidet=\frac{l\sqrt3}2\)
Derfor, da AM er højden af den ligesidede trekant ABC, og segmentet OM er trekantens apotem, kan vi udarbejde følgende udtryk for målet for OM, i betragtning af at siden af trekanten måler l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem af Square Formula
I tilfældet med pladsen, apotemets mål svarer til halvdelen af sidens længde. Således, hvis O er midten af kvadratet, er M midtpunktet af en af siderne, og l er længden af siden af kvadratet, så formlen for apotemet OM er
\(OM=\frac{l}2\)
Almindelig sekskantet apotem formel
I den regulære sekskant svarer apotem til højden af en ligesidet trekant med spidser i to ender af en af siderne og i midten af polygonen. I eksemplet nedenfor er apotemet OM for den regulære sekskant højden af den ligesidede trekant OCD, hvor M er midtpunktet af CD.
Som vi nævnte før, er højden af en ligesidet trekant kendt. Således, hvis siden af en regulær sekskant måler l, så er formlen for apotemet OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramide Apotem Formel
Målingen af pyramidens apotem kan fås med Hjælp til Pythagoras sætning. I eksemplet nedenfor, i en kvadratisk pyramide, er trekanten VOM et rektangel med benene VO og OM og hypotenusen VM. Bemærk at VO er pyramidens højde, OM er basens apotem og VM er pyramidens apotem.
For at bestemme målet for pyramidens apotem skal vi derfor anvende Pythagoras sætning:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Forsigtig! VM er højden af en ligebenet trekant, ikke en ligesidet trekant. Så i dette tilfælde kan vi ikke bruge formlen for højden af en ligesidet trekant.
Hvordan beregnes apotemet?
For at beregne apotemet for en polygon eller pyramiden kan vi bruge de konstruerede formler eller forbinde apotemet med radius af den indskrevne cirkel.
Eksempel 1: Antag, at en cirkel med radius 3 cm er indskrevet i en ligesidet trekant. Hvad er målet for denne trekants apotem?
Da apotemet for en polygon har samme mål som radius af den indskrevne cirkel, måler trekantens apotem 3 cm.
Eksempel 2: Hvad er målet for apotemet for en regulær sekskant med en side på 4 cm?
Brug af formlen for apotem af en regulær sekskant med \(l=4\) cm, det skal vi
\(Mål\ af\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Læs også: Alt om de bemærkelsesværdige punkter i en trekant
Løste øvelser på apotem
Spørgsmål 1
Hvis en pyramide på 4 cm høj har en grundsætning på 3 cm, så er målingen af pyramidens apotem
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Løsning:
I en pyramide kan vi konstruere en retvinklet trekant, hvor det ene ben er basens apotem, det andet ben er pyramidens højde og hypotenusen er pyramidens apotem. Ved at anvende Pythagoras sætning på hypotenusen af mål x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativ A.
spørgsmål 2
Hvis apotem af en firkant er y cm, så er siden af firkanten
Det) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2 år cm
e) 3 år cm
Løsning
Et kvadrats apotem er halvdelen af kvadratets side. Derfor, hvis apotemet måler y cm, måler firkanten 2y cm.
Alternativ D.
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
