bisektor og vinkelret linje til et segment, der skærer dets midtpunkt. Vi kan konstruere den vinkelrette halveringslinje af et segment ved hjælp af lineal og kompas. På en trekant, vinkelrette halveringslinjer er linjer vinkelret på de sider, der indeholder deres midtpunkter. Således har en trekant tre vinkelrette halveringslinjer. Punktet, hvor disse halveringslinjer mødes, kaldes circumcenter og udgør midten af cirklen omskrevet til trekanten.
Læs også: Afstand mellem to punkter - den korteste vej mellem to punkter i det kartesiske plan
Emner i denne artikel
- 1 - Opsummering om bisektor
- 2 - Hvad er en halveringslinje?
- 3 - Hvordan bygger man den vinkelrette halveringslinje?
- 4 - Hvordan finder man halveringsligningen?
- 5 - Halvleds for en trekant
- 6 - Forskelle mellem halveringslinje, median, halveringslinje og højde af en trekant
- 7 - Løste øvelser på halvleder
Bisector er den lige vinkelret på et segment, der går gennem midtpunktet.
Punkterne i en vinkelret halveringslinje er lige langt fra segmentets endepunkter.
Den vinkelrette halveringslinje kan konstrueres med lineal og kompas.
Ligningen for en vinkelret halveringslinje kan bestemmes ud fra koordinaterne for segmentets endepunkter.
En trekant har tre vinkelrette halveringslinjer, en i forhold til hver side.
Skæringspunktet for halveringslinjen i en trekant kaldes circumcenter. Dette punkt er midten af trekantens omskrevne cirkel.
Halveringslinjen i en trekant adskiller sig fra medianen, halveringslinjen og højden af en trekant.
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen ;)
Givet et segment er den vinkelrette halveringslinje linjen vinkelret på segment der opsnapper din midtpunkt.
En vigtig konsekvens af denne definition er, at alle punkter på en vinkelret halveringslinje er i samme afstand fra segmentets endepunkter. I matematisk symbolologi, hvis AB er et segment, og punktet P hører til halveringslinjen, så er PA = PB.
For at konstruere den vinkelrette halveringslinje af et segment, vi behøver kun lineal og kompas. Trinnene til konstruktion er som følger:
Trin 1: Givet et segment AB åbnes kompasset med en længde, der er større end halvdelen af segmentet. Tip: en mulighed er at bruge længden af selve segmentet.
Trin 2: tegne en omkreds med centrum i den ene ende af segmentet og radius med det mål, der blev valgt i trin 1.
Trin 3: Gentag trin 2 for den anden ende af segmentet.
Trin 4: Forbind cirklernes skæringspunkter med linealen.
Da den vinkelrette halveringslinje er en ret linje, kan vi bestemme a ligning der beskriver dine pointer, væren r linjen, der indeholder et segment AB givet væk, s halveringslinjen af dette segment og P (x, y) ethvert punkt på den vinkelrette halveringslinje.
Forudsat at punkternes koordinater EN det er B er kendt, kan vi få vinkelkoefficienten n af lige r. Som r det er s er vinkelrette, hældningen m af lige s (den vinkelrette halveringslinje) kan også findes, da det er det modsatte af den multiplikative inverse af n. Ved at bruge udtrykket for linjens fundamentale ligning, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), på hvilke \(M(x\_0,y\_0)\) er midtpunktet af AB, har vi afsluttet halveringsligningen.
Eksempel:
Bestem halveringsligningen for segmentet bestemt af punkterne A(1,2) og B(3,6).
Løsning:
Lad os først se hældningen n af lige r der indeholder segmentet AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Nu ser vi efter midtpunktet M af segmentet AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Husk at den vinkelrette halveringslinje s ønskede er vinkelret på linjen r (som indeholder segmentet AB). Derefter vinkelkoefficienten m af lige s og vinkelkoefficienten n af lige r hænger sammen som følger:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Derfor, \(m_s=\frac{-1}2\).
Til sidst bruger vi linjens fundamentale ligning til at bestemme halveringslinjen s, en linje der har hældning lig med \(-\frac{1}2\) og passerer gennem punktet (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
De tre sider af en trekant er linjestykker. Således refererer udtrykket "halveringslinje af en trekant" til halveringslinjen af en af siderne af denne geometriske figur. Derfor, trekantenhar tre halveringslinjer. Se nedenunder:
Punktet, hvor halveringslinjerne i en trekant mødes, kaldes circumcenter., da det er midten af cirklen omskrevet til trekanten (det vil sige cirklen, der går gennem trekantens tre spidser).
Vigtig:Da omkredscentret er et punkt, der er fælles for de tre vinkelrette halveringslinjer, er dets afstand fra hvert af hjørnerne den samme. I matematisk symbolologi, hvis D er trekantens omkredscenter ABC, derefter \(AD=BD=CD\).
Halvleder, median, halveringslinje og højde af en trekant er forskellige begreber. Lad os se på hver enkelt og derefter sammen.
Halvleds for en trekant: er linjen vinkelret på en af siderne, der skærer dens midtpunkt.
Medianen af en trekant: er segmentet med endepunkter i et toppunkt af trekanten og i midten af siden modsat toppunktet.
Halvleds for en trekant: er det segment, der deler sig i halvdelen af en af vinkler sider af trekanten, med endepunkter ved et af hjørnerne og på den modsatte side.
Højde af en trekant: er segmentet vinkelret på en af siderne med enden i vinklen modsat siden.
I det følgende billede fremhæver vi, i forhold til segmentet BC i trekanten, højden (stiplet streg i orange), halveringslinjen (stiplet linje i lilla), medianen (stiplet linje i grøn) og den vinkelrette halveringslinje (helbrudt linje i rød).
Vigtig: På en ligesidet trekant, det vil sige, som har de tre sider og tre vinkler lige store, er halveringslinjen, medianerne, halveringslinjen og højderne sammenfaldende. Følgelig er bemærkelsesværdige punkter i en trekant (cirkumcenter, barycenter, incenter og ortocenter) falder også sammen. På billedet nedenfor fremhæver vi, i forhold til segment BC, halveringslinjen, medianen, halveringslinjen og højden i en kontinuerlig sort linje. Det fremhævede punkt E er derfor circumcenter, barycenter, incenter og ortocenter af trekanten ABC.
Se også: Metriske relationer i den indskrevne ligesidede trekant - hvad er de?
Spørgsmål 1
Overvej udsagn nedenfor.
jeg. Halveringslinjen i en trekant er det segment, der starter ved et toppunkt og krydser midtpunktet på den modsatte side.
II. Punktet, hvor halveringslinjerne i en trekant mødes, kaldes circumcenter. Dette punkt er midten af cirklen omskrevet til trekanten og lige langt fra hjørnerne.
III. Halveringslinjen i et stykke er den vinkelrette linje, der skærer stykket i midtpunktet.
Hvilket alternativ indeholder den eller de korrekte?
A) Kun jeg.
B) II, kun.
C) Kun III.
D) I og II.
E) II og III.
Løsning:
Alternativ E
Udsagn I er den eneste forkerte, da den beskriver medianen af en trekant.
spørgsmål 2
(Enem — tilpasset) I de senere år har fjernsynet gennemgået en sand revolution med hensyn til billedkvalitet, lyd og interaktivitet med seeren. Denne transformation skyldes konverteringen af det analoge signal til det digitale signal. Men mange byer har stadig ikke denne nye teknologi. For at bringe disse fordele til tre byer har en tv-station til hensigt at bygge et nyt sendetårn, der sender et signal til antennerne A, B og C, der allerede findes i disse byer. Antenneplaceringerne er repræsenteret i det kartesiske plan:
Tårnet skal være placeret lige langt fra de tre antenner. Det egnede sted til opførelsen af dette tårn svarer til koordinatpunktet
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Løsning:
Alternativ E
Bemærk, at placeringen af tårnet skal være omkredsen af trekanten dannet af punkterne A, B og C, da det er den samme afstand af de tre antenner.
Koordinaterne for T-tårnet er\((x_t, y_t)\). Da T hører til halveringslinjen af AB (givet ved linjen x = 50), skal tårnets vandrette placering være \(x_t=50\).
For at bestemme den vandrette koordinat \(y_t\) af tårnet, kan vi bruge udtrykket for afstanden mellem to punkter to gange. Da tårnet er lige langt fra for eksempel hjørnerne A og C (AT = CT), har vi:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Forenklet, får vi \(y_t=30\).
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
Find ud af, hvad en polygons apotem er, og hvordan man beregner dens mål. Kend også hovedformlerne for denne beregning.
Se her omkredsens hovedkarakteristika og lær hvordan du beregner dens areal og længde. Se også, hvordan man skriver ligningen for en cirkel.
Bestemmelse af tangenten til linjens hældningsvinkel.
Den korteste afstand mellem to punkter er en lige linje. Se, hvordan du beregner denne afstand, og lær, hvordan du etablerer en matematisk sammenhæng for at bestemme den
Find ud af, hvad den generelle ligning for linjen er, og hvordan du finder den, udover at kontrollere den grafiske gengivelse af en linje fra dens ligning.
Lær, hvordan du beregner midtpunktet af et linjestykke ved hjælp af analytisk geometri!
Se her de bemærkelsesværdige punkter i en trekant og lær dens vigtigste egenskaber. Se også, hvordan disse punkter kan lette løsningen af nogle problemer.
Forstå, hvad vinkelrette linjer er, og lær, hvad der er betingelsen for, at to linjer repræsenteret i det kartesiske plan er vinkelrette eller ej.
