Transponeret matrix: hvad er det, egenskaber, eksempler

DET transponeret matrix af matrix M er matrix M^t. det handler om hovedkvarter som vi får når vi omskriver matrixen M og ændrer placeringen af rækkerne og kolonnernetransformerer den første række af M til den første kolonne af M^t, den anden række af M i anden kolonne af M^t, og så videre.

Hvis matrix M har m linjer og ingen kolonner, dens transponerede matrix, dvs. M^t, vil have ingen linjer og m kolonner. Der er specifikke egenskaber for den transponerede matrix.

Læs også: Hvad er en trekantet matrix?

Hvordan opnås den transponerede matrix?

Givet en matrix A_mxn, vi kender som matrixen transponeret fra A til matrix A^t_{n x m}. For at finde den transponerede matrix skal du bare ændre positionen af rækkerne og kolonnerne i matrix A. Uanset hvad der er den første række af matrix A vil være den første kolonne i transponeret matrix A^tvil den anden række af matrix A være den anden kolonne i matrix A^t, og så videre.

Lad algebraisk M = (m_ij)_mxn, er den transponerede matrix af M M^t = (m_ji) _{n x m}.

Eksempel:

instagram story viewer

Find matrixen transponeret fra matrixen:

Matrix M er en 3x5 matrix, så dens transponering vil være 5x3. For at finde den transponerede matrix vil vi gøre den første række af matrix M til den første kolonne i matrix M^t.

Den anden række af matrix M vil være den anden kolonne i den transponerede matrix:

Endelig bliver den tredje række af matrix M den tredje kolonne i matrix M.^t:

symmetrisk matrix

Baseret på konceptet med transponeret matrix er det muligt at definere, hvad en symmetrisk matrix er. En matrix er kendt som en symmetrisk når det er lig med din transponerede matrix, det vil sige givet matrixen M, M = M^t.

For at det skal ske, matrixen skal være firkantet, hvilket betyder, at for at matrixen skal være symmetrisk, skal antallet af rækker være lig med antallet af kolonner.

Eksempel:

Når vi analyserer vilkårene over hoveddiagonalen og vilkårene under hoveddiagonalen af matrixen S er det muligt at se, at der er udtryk, der de er ens, hvilket gør det kendt som symmetrisk nøjagtigt på grund af matrixens symmetri i forhold til hoveddiagonalen.

Hvis vi finder transponeringen af matrixen S, er det muligt at se, at S^t er lig med S.

Som S = S^t, denne matrix er symmetrisk.

Se også: Hvordan løses lineære systemer?

Transponerede matrixegenskaber

1. ejendom: transponering af en transponeret matrix er lig med selve matrixen:

(M^t)^t = M

2. ejendom: transponering af summen mellem matricerne er lig med summen af transponering af hver af matricerne:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3. ejendom: gennemførelsen af multiplikation mellem to matricer er lig med multiplikationen af transponeringen af hver af matricerne:

(M · N)^t = M^t · N^t

4. ejendom: O determinant af matrixen er lig med determinanten for den transponerede matrix:

det (M) = det (M^t)

5. ejendom: matrix transponere gange konstant er lig med matrix transponere gange konstant:

(kA)^t = kA^t

Omvendt matrix

Det inverse matrixkoncept er meget forskelligt fra det transponerede matrixkoncept, og det er vigtigt at understrege forskellen mellem dem. Den inverse matrix for en matrix M er matrixen M^-1, hvor produktet mellem M- og M-matricerne^-1 er lig identitetsmatrixen.

Eksempel:

For at lære mere om denne type matrix, læs vores tekst: Omvendt matrix.

modsat matrix

At være et andet tilfælde af en speciel matrix, matrixen modsat af matrix M er matrix -M. Vi kender som den modsatte matrix af M = (m_ij) matrixen -M = (-m_ij). Den modsatte matrix er sammensat af de modsatte termer af matrix M.