Studer med de løste sinus-, cosinus- og tangentøvelser. Øv dig og fjern din tvivl med de kommenterede øvelser.
Spørgsmål 1
Bestem værdierne af x og y i følgende trekant. Overvej sin 37º = 0,60, cosinus på 37º = 0,79 og tan 37º = 0,75.
Svar: y = 10,2 m og x = 13,43 m
For at bestemme y bruger vi sinus på 37º, som er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen. Det er værd at huske, at hypotenusen er segmentet modsat 90º vinklen, så det er 17 m værd.
For at bestemme x kan vi bruge cosinus på 37º, som er forholdet mellem den side, der støder op til vinklen på 37º og hypotenusen.
spørgsmål 2
Bestem værdien af vinklen i den følgende retvinklede trekant , i grader, og dens sinus, cosinus og tangens.
Overveje:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Svar: ,
I en trekant er summen af de indre vinkler lig med 180°. Som en retvinklet trekant er der en 90º vinkel, så der er yderligere 90º tilbage for de to vinkler.
På denne måde har vi:
Da disse vinkler er komplementære (fra en af dem er den anden, hvor meget der er tilbage for at fuldføre 90º), er det gyldigt, at:
cos 62º = sin 28º = 0,47
og
sin 62º = cos 28º = 0,88
Tangentberegning
Tangenten er forholdet mellem sinus og cosinus.
spørgsmål 3
På et bestemt tidspunkt af en solskinsdag projiceres skyggen af et hus i 23 meter. Denne rest udgør 45º i forhold til jorden. Bestem på denne måde husets højde.
Svar: Husets højde er 23 m.
For at bestemme en højde, ved at kende hældningsvinklen, bruger vi tangenten til 45°-vinklen.
45° tangenten er lig med 1.
Huset og skyggen på jorden er benene i en retvinklet trekant.
Husets højde er således 23 m.
spørgsmål 4
En landmåler er en professionel, der bruger matematisk og geometrisk viden til at tage mål og studere en overflade. Ved hjælp af en teodolit, et værktøj, der blandt andre funktioner måler vinkler, placeret ved 37 meter væk fra en bygning fandt han en vinkel på 60° mellem et plan parallelt med jorden og højden af bygning. Hvis teodolitten var på et stativ 180 cm fra jorden, skal du bestemme bygningens højde i meter.
overveje
Svar: Bygningens højde er 65,81 m.
Lav en skitse af den situation, vi har:
Bygningens højde kan således bestemmes ved hjælp af tangenten på 60º, fra den højde, hvor teodolitten er, tilføjet resultatet med 180 cm eller 1,8 m, da det er den højde, den er fra jorden.
60° tangenten er lig med .
Højde fra teodolitten
Samlet højde
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Bygningens højde er 65,81 m.
spørgsmål 5
Bestem omkredsen af femkanten.
Overveje:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
brun 67° = 2,35
Svar: Omkredsen er 219,1 m.
Omkredsen er summen af femkantens sider. Da der er en rektangulær del, der måler 80 m, er den modsatte side også 80 m lang.
Omkredsen er givet af:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Væren Det, parallelt med den blå stiplede linje, kan vi bestemme dens længde ved hjælp af 67° tangenten.
For at bestemme værdien af b bruger vi cosinus på 67°
Så omkredsen er:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
spørgsmål 6
Find sinus og cosinus for 1110°.
I betragtning af den trigonometriske cirkel har vi, at en hel drejning har 360°.
Når vi dividerer 1110° med 360° får vi 3,0833.... Det betyder 3 hele omgange og lidt mere.
Tager vi 360° x 3 = 1080° og trækker fra 1110 har vi:
1110° - 1080° = 30°
Når vi betragter retningen mod uret som positiv, vender vi efter tre hele drejninger tilbage til begyndelsen, 1080° eller 0°. Fra dette punkt går vi yderligere 30° frem.
Så sinus og cosinus af 1110° er lig med sinus og cosinus af 30°
spørgsmål 7
(CEDERJ 2021) Ved at studere til en trigonometritest lærte Júlia, at sin² 72° er lig med
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Det grundlæggende forhold mellem trigonometri siger, at:
Hvor x er værdien af vinklen.
Tager vi x = 72º og isolerer sinusen, har vi:
spørgsmål 8
Ramper er en god måde at sikre tilgængelighed for kørestolsbrugere og bevægelseshæmmede. Adgang til bygninger, møbler, rum og byudstyr er garanteret ved lov.
Den brasilianske sammenslutning af tekniske normer (ABNT), i overensstemmelse med den brasilianske lov for inklusion af personer med Handicap (13.146/2015), regulerer konstruktionen og definerer rampernes hældning, samt beregningerne for deres konstruktion. ABNT-beregningsvejledningen angiver en maksimal hældningsgrænse på 8,33 % (1:12-forhold). Det betyder, at en rampe, for at overvinde en forskel på 1 m, skal være mindst 12 m lang og dette definerer, at rampens hældningsvinkel i forhold til det vandrette plan ikke må være større end 7°.
Ifølge de tidligere oplysninger, således at en rampe med en længde på 14 m og en hældning på 7º i i forhold til flyet, er inden for ABNT-normerne, skal det tjene til at overvinde et hul med en maksimal højde på
Brug: sin 7. = 0,12; cos 7º = 0,99 og tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampen danner en retvinklet trekant, hvor længden er 14 m, hvilket giver en vinkel på 7º i forhold til vandret, hvor højden er siden modsat vinklen.
Bruger sinus på 7°:
Højden som rampen skal nå er 1,68 m.
spørgsmål 9
(Unesp 2012) En hospitalsbygning bygges i et skrånende terræn. For at optimere byggeriet tegnede den ansvarlige arkitekt parkeringspladsen i bygningens kælder med indgang fra grundens baggade. Hospitalets reception ligger 5 meter over parkeringspladsens niveau, hvilket kræver konstruktion af en lige tilkørselsrampe for bevægelsesbesværlige patienter. Figuren repræsenterer skematisk denne rampe (r), der forbinder punkt A på receptionsgulvet til punkt B på parkeringsetagen, som skal have en minimum α-hældning på 30º og maksimalt 45º.
Under disse forhold og i betragtning , hvad skal maksimum- og minimumværdierne i meter være af længden af denne tilkørselsrampe?
Svar: Længden af tilkørselsrampen vil være 7 m minimum og 10 m maksimum.
Projektet forudser allerede og sætter højden til 5 m. Vi skal beregne længden af rampen, som er hypotenusen af den retvinklede trekant, for vinklerne 30° og 45°.
Til beregningen brugte vi vinklens sinus, der er forholdet mellem den modsatte side, 5m, og hypotenusen r, som er længden af rampen.
For de bemærkelsesværdige vinkler 30° og 45° er sinusværdierne:
for 30°
til 45°
rationalisere
Erstatning af værdien af
spørgsmål 10
(EPCAR 2020) Om natten flyver en brasiliansk luftvåbens helikopter over et fladt område og får øje på en UAV (Air Vehicle) ubemandet) af cirkulær form og ubetydelig højde, med en radius på 3 m parkeret parallelt med jorden i 30 m fra højde.
UAV'en er i en afstand y meter fra et søgelys, der er blevet installeret på helikopteren.
Lysstrålen fra søgelyset, der passerer UAV'en, falder på det flade område og producerer en cirkulær skygge med centrum O og radius R.
Radius R af skyggens omkreds danner en vinkel på 60º med lysstrålen, som det ses på den følgende figur.
I det øjeblik løber en person, der er i punkt A på skyggens omkreds, til punkt O, fod fra vinkelret trukket fra rampelyset til planområdet.
Afstanden, i meter, som denne person rejser fra A til O er et tal imellem
a) 18 og 19
b) 19 og 20
c) 20 og 21
d) 22 og 23
objektiv
Bestem segmentlængden , radius af skyggens cirkel.
Data
- Højde fra O til UAV er 30 m.
- UAV'ens radius er 3 m.
Ved hjælp af 60°-tangenten bestemmer vi den del, der er fremhævet med rødt på følgende billede:
I betragtning af tangenten på 60° = og tangenten er forholdet mellem siden modsat vinklen og dens tilstødende side, vi har:
rationalisere
Længden AO er
nærmer sig værdien af
Den omtrentlige måling af AO-segmentet er 20,3 m, det vil sige en værdi mellem 20 og 21.
Studer også med:
- Sinus, Cosinus og Tangent
- Trigonometriøvelser i den rigtige trekant
- Trigonometri øvelser
- Trigonometri i den højre trekant
- Trigonometri
- trigonometriske identiteter
- Øvelser om trigonometriske forhold
- Metriske relationer i den rigtige trekant
- Trigonometriske relationer
- vinkler
- Trigonometriske forhold
- trigonometrisk tabel
- Trigonometriske funktioner
- Trigonometrisk cirkel
- Sinusloven
- Cosinusloven
