DET Den interne bisektorsætning blev udviklet specifikt til trekanter og viser, at når vi sporer den indre halveringslinje af en vinkel i trekanten, opdeler halveringspunktet for den modsatte side den side i linjestykker proportional med de tilstødende sider af denne vinkel. Med anvendelse af den indre halveringsretning det er muligt at bestemme værdien af siden eller segmenterne af trekanten ved hjælp af forholdet mellem dem.
Se også: Median, vinkelhalveringslinje og højden af en trekant - hvad er forskellen?
Opsummering af den indre bisektorsætning:
Halveringslinjen er en stråle som deler vinklen i to kongruente vinkler.
Den indre bisektorsætning er specifik for trekanter.
Denne sætning beviser, at halveringslinjen deler den modsatte side i proportionale segmenter til siderne ved siden af vinkel.
Videolektion om den indre halveringsretningssætning
Stop ikke nu... Der er mere efter annoncen ;)
Hvad er bisektorsætningen?
Før vi forstår, hvad den indre halveringsledssætning siger, er det vigtigt at vide, hvad det er
halveringslinje af en vinkel. Det er en stråle, der deler vinklen i to kongruente dele., altså to dele, der har samme mål.
Når vi forstår, hvad halveringslinjen er, bemærker vi, at den eksisterer i den indre vinkel af en trekant. Når vi afgrænser halveringslinjen for en vinkel i trekanten, vil den dele den modsatte side i to segmenter. Med hensyn til den indre halveringslinje, dens sætning siger, at de to segmenter divideret med den er proportionale med de tilstødende sider af vinklen.
Bemærk, at halveringslinjen deler siden AC i to segmenter, AD og DC. Bisektorsætningen viser det:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Få mere at vide: Pythagoras sætning - en anden sætning udviklet til trekanter
Bevis for den indre bisektorsætning
I trekant ABC nedenfor vil vi afgrænse segmentet BD, som er halveringslinjen i denne trekant. Desuden vil vi spore forlængelsen af dens side CB og segmentet AE, parallelt med BD:
Vinkel AEB er kongruent med vinkel DBC, fordi CE er en lige på tværs af de parallelle segmenter AE og BD.
anvender Thales' sætning, konkluderede vi, at:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Nu er vi det er tilbage at vise, at BE = AB.
Da x er målet for vinklen ABD og DBC, ved at analysere vinklen ABE, får vi:
ABE = 180 - 2x
Hvis y er målet for vinkel EAB, har vi følgende situation:
Vi ved, at summen af trekantens indre vinkler ABE er 180°, så vi kan beregne:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Hvis vinkel x og vinkel y har samme mål, er trekant ABE ligebenet. Derfor er siden AB = AE.
Da summen af de indre vinkler i en trekant altid er lig med 180°, har vi i trekant ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Da y = x, er trekanten ACE ligebenet. Derfor er segmenterne AE og AC kongruente. Bytte AE til AC ind grund, er det bevist, at:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Eksempel:
Find værdien af x i følgende trekant:
Ved at analysere trekanten får vi følgende forhold:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Krydsmultiplikation:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Læs også: Bemærkelsesværdige punkter i en trekant - hvad er de?
Løste øvelser om den indre halveringsretningssætning
Spørgsmål 1
Ser vi på trekanten nedenfor, kan vi sige, at værdien af x er:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Løsning:
Alternativ D
Ved at anvende den interne bisektorsætning får vi følgende beregning:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Krydsmultiplikation:
\(27x=18\ \venstre (30-x\højre)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
spørgsmål 2
Analyser følgende trekant, vel vidende at dine mål er angivet i centimeter.
Omkredsen af trekanten ABC er lig med:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Løsning:
Alternativ C
Ved at anvende halveringssætningen finder vi først værdien af x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \venstre (4x-9\højre)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Således måler de ukendte sider:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Husk at måle længde brugt var cm, den omkreds af denne trekant er lig med:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Vil du referere til denne tekst i et skole- eller akademisk arbejde? Se:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Indre bisektorsætning"; Brasilien skole. Tilgængelig i: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Tilgået den 4. april 2022.