Domænet, rækkevidden og rækkevidden er numeriske sæt, der er relateret til matematiske funktioner. Disse transformerer værdier gennem deres dannelseslove og transporterer dem fra et outputsæt, domænet, til et ankomstsæt, området.
Fra domænesættet kommer de værdier, der vil blive transformeret af funktionsformlen eller dannelsesloven. Bagefter ankommer disse værdier til codomænet.
Den delmængde, der dannes af de elementer, der ankommer til codomænet, kaldes billedmængden.
På denne måde er domæne, område og område ikke-tomme sæt og kan være endelige eller uendelige.
I undersøgelsen af funktioner er det nødvendigt at specificere hvilke elementer eller hvad er omfanget af disse sæt. For eksempel: sæt af naturlige tal eller sæt af reelle tal.
Givet et domæne A, hvor hvert element x, der hører til det, omdannes af funktionen til et element y, der hører til området B, kaldes hvert element y et billede af x.
For at udpege en funktions domæne og rækkevidde, bruges notationen:
(vi læser f fra A til B)
Disse transformationslove er udtryk, der involverer operationer og numeriske værdier.
Eksempel
En funktion f: A→B defineret af dannelsesloven f(x) = 2x, hvor dens domæne er mængden A={1, 2, 3} og området B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, kan repræsenteres af værdierne i tabellen og diagrammer:
|
Domæne x |
f(x) = 2x |
Billede og |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organisering af tabelresultater i diagrammer:
Domæne
Domæne D af en funktion f er outputmængden, sammensat af elementerne x anvendt på funktionen.
Geometrisk, i et kartesisk plan, danner domæneelementerne abscissens x-akse.
i notationen domænet er repræsenteret med bogstavet før pilen.
Hvert element x i domænet har mindst ét billede y i codomænet.
codomæne
CD-domæne er ankomstsættet. i notationen er repræsenteret på højre side af pilen.
Billede
Image Im er en delmængde af området, dannet af elementerne y, der forlader funktionen og ankommer til området, som kan have det samme antal elementer eller et mindre antal.
På denne måde er billedsættet af en funktion f indeholdt i codomænet.
Geometrisk danner elementerne i billedsættet i et kartesisk plan y-aksen for ordinaterne.
Det er almindeligt at sige, at y er værdien antaget af funktionen f(x), og på denne måde skriver vi:
Det er muligt, at det samme element y er et billede af mere end ét element x i domænet.
Eksempel
i funktion defineret ved lov
, for symmetriske x-værdier af domænet har vi et enkelt y-billede.
Lær mere om funktioner.
Domæne, co-domæne og billedøvelser
Øvelse 1
Givet sættene A = {8, 12, 13, 20, 23} og B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, bestemme: domæne, område og område for funktioner.
a) f: A → B defineret ved f (x) = 2x + 1
b) f: A → B defineret ved f (x) = 3x - 14
a) f: A → B defineret ved f (x) = 2x + 1
Domæne A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domæne B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Billede Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | jeg (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B defineret ved f (x) = 3x - 14
Domæne A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domæne B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Billede Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | jeg (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Øvelse 2
Bestem domænet af funktioner defineret af:
Domænet er det sæt af mulige værdier, som x kan tage.
a) Vi ved, at det ikke er muligt at have division med nul 0, så nævneren skal være forskellig fra nul.
Vi læser: x hører til realerne, således at x er forskellig fra 2.
b) Der er ingen kvadratrod af et negativt tal. Derfor skal radikanden være større end eller lig med nul.
Vi læser: x hører til realerne, således at x er større end eller lig med 5.
Øvelse 3
Givet funktionen med domæne i sættet af heltal hvad er billedsættet af f(x)?
Sættet Z af heltal tillader både negative og positive tal, hvor to på hinanden følgende tal er 1 enhed fra hinanden.
På denne måde tillader funktionen positive og negative værdier. Men da x er kvadreret, vil hver værdi, selv en negativ, returnere en positiv værdi.
Eksempel
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
På denne måde vil der kun være naturlige tal i billedet.
Du kan være interesseret i:
- injektionsfunktion
- Surjektiv funktion
- Bijection funktion
- Omvendt funktion
- Sammensat funktion
Ansøgninger og kuriositeter
Funktioner har anvendelse i studiet af ethvert fænomen, hvor en parameter afhænger af en anden. Som for eksempel hastigheden af et møbel over tid, virkningerne af et lægemiddel med karakteristika af surhed i maven, temperaturen af en kedel med mængden af brændstof.
Funktionerne er til stede i virkelige fænomener og kan derfor anvendes i alle videnskabelige og ingeniørstudier.
Studiet af funktioner er ikke nyere, nogle optegnelser i antikken i babylonske tabeller viser, at de allerede var en del af matematikken. Gennem årene har notationen, den måde de er skrevet på, modtaget bidrag fra flere matematikere og forbedret, indtil vi bruger dem i dag.
