Faktoriseringen af polynomier består af metoder udviklet til at omskrive et polynomium som et produkt mellem polynomier. Skriv polynomiet som multiplikation mellem to eller flere faktorer hjælper med at forenkle algebraiske udtryk og forstå et polynomium.
Der er forskellige tilfælde af factoring, og for hver af dem er der specifikke teknikker.. De eksisterende tilfælde er: faktorisering efter fælles faktor i beviser, faktorisering ved gruppering, forskel mellem to kvadrater, perfekt kvadrattrinomium, sum af to terninger og forskel på to terninger.
Læs mere:Hvad er polynomium?
Sammenfatning om faktorisering af polynomier
Faktorisering af polynomier er teknikker, der bruges til at repræsentere polynomiet som et produkt mellem polynomier.
Vi bruger denne faktorisering til at forenkle algebraiske udtryk.
-
Factoring sagerne er:
Factoring efter fælles faktor i bevis;
Faktorering ved gruppering;
perfekt firkantet trinomium;
forskel på to kvadrater;
summen af to terninger;
Forskel på to terninger.
Polynomial Factoring Cases
For at faktorisere et polynomium, det er nødvendigt at analysere, i hvilke af factoring-tilfældene situationen passer, der er: faktorisering ved fælles faktor i bevis, faktorisering ved gruppering, forskel mellem to kvadrater, perfekt kvadrattrinomium, sum af to terninger og forskel på to terninger. Lad os se, hvordan man udfører faktoriseringen i hver af dem.
Stop ikke nu... Der er mere efter annoncen ;)
Fælles faktor i bevis
Vi bruger denne faktoriseringsmetode, når der er en faktor, der er fælles for alle termer i polynomiet. Denne fælles faktor vil blive fremhævet som en faktor, og den anden faktor, resultatet af division af termerne af den fælles faktor, vil blive placeret inden for parentesen.
Eksempel 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Ved at analysere hvert led i dette polynomium er det muligt at se, at x gentages i alle led. Desuden er alle koefficienter (20, 12 og 8) multipla af 4, så den fælles faktor for alle led er 4x.
Ved at dividere hvert led med den fælles faktor har vi:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nu vil vi skrive faktoriseringen og sætte den fælles faktor i bevis og sum af resultaterne fundet i parentes:
4x (5y + 3x + 2y²)
Eksempel 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Ved at analysere den bogstavelige del af hvert led, er det muligt at se, at a²b gentages i dem alle. Bemærk, at der ikke er noget tal, der deler 2, 3 og – 4 på samme tid. Så den fælles faktor vil kun være a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Således vil faktoriseringen af dette polynomium være:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Se også: Addition, subtraktion og multiplikation af polynomier - forstå, hvordan de udføres
gruppering
Denne metode er bruges, når der ikke er en fælles faktor for alle termer i polynomiet. I dette tilfælde identificerer vi termer, der kan grupperes med en fælles faktor, og fremhæver dem.
Eksempel:
Faktorer følgende polynomium:
ax + 4b + bx + 4a
Vi vil gruppere de termer, der har a og b som en fælles faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Sætter vi a og b som bevis i form af to og to, har vi:
a(x+4)+b(x+4)
Bemærk, at inden for parentesen er faktorerne de samme, så vi kan omskrive dette polynomium som:
(a + b) (x + 4)
perfekt firkantet trinomium
Trinomialer er polynomier med 3 led. Et polynomium er kendt som et perfekt kvadratisk trinomium, når det er det sum i anden eller differenskvadrat resultat, det er:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Vigtig: Ikke hver gang der er tre led, vil dette polynomium være et perfekt kvadratisk trinomium. Derfor skal det, før faktoriseringen udføres, verificeres, om trinomialet passer i dette tilfælde.
Eksempel:
Faktor, hvis muligt, polynomiet
x² + 10x + 25
Efter at have analyseret dette trinomium vil vi udtrække kvadrat rod første og sidste semester:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Det er vigtigt at verificere, at det centrale led, det vil sige 10x, er lig med \(2\cdot\ x\cdot5\). Bemærk, at det faktisk er det samme. Så dette er et perfekt firkantet trinomium, som kan indregnes ved:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
forskel på to kvadrater
Når vi har en forskel på to kvadrater, vi kan faktorisere dette polynomium ved at omskrive det som produktet af summen og forskellen.
Eksempel:
Faktorer polynomiet:
4x² – 36y²
Først vil vi beregne kvadratroden af hver af dens udtryk:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Nu vil vi omskrive dette polynomium som produktet af summen og forskellen af de fundne rødder:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Læs også: Algebraisk beregning, der involverer monomialer - lær hvordan de fire operationer foregår
summen af to terninger
Summen af to terninger, det vil sige a³ + b³, kan medregnes som:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Eksempel:
Faktorer polynomiet:
x³ + 8
Vi ved, at 8 = 2³, så:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Forskel på to terninger
Forskellen på to terninger, det vil sige a³ – b³, ikke ulig summen af to terninger, kan faktoriseres som:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Eksempel:
Faktorer polynomiet ud
8x³ - 27
Vi ved det:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Så vi skal:
\(8x^3-27=\venstre (2x-3\højre)\)
\(8x^3-27=\venstre (2x-3\højre)\venstre (4x^2+6x+9\højre)\)
Løste øvelser om faktorisering af polynomier
Spørgsmål 1
Brug af polynomial faktorisering til at forenkle algebraisk udtryk \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), finder vi:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Løsning:
Alternativ D
Ser vi på tælleren, ser vi, at x² + 4x + 4 er et tilfælde af et perfekt kvadratisk trinomium og kan omskrives som:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Tælleren x² – 4 er forskellen mellem to kvadrater og kan omskrives som:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Derfor:
\(\frac{\venstre (x+2\højre)^2}{\venstre (x+2\højre)\venstre (x-2\højre)}\)
Bemærk, at udtrykket x + 2 optræder både i tælleren og i nævneren, så dets forenkling er givet ved:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
spørgsmål 2
(Unifil Institute) I betragtning af at to tal, x og y, er sådan, at x + y = 9 og x² – y² = 27, er værdien af x lig med:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Løsning:
Alternativ C
Bemærk, at x² – y² er forskellen mellem to kvadrater og kan faktoriseres som produktet af summen og forskellen:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Vi ved, at x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Så kan vi oprette en ligningssystem:
Tilføjelse af de to linjer:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
