Vektorer: hvad de er, operationer, applikationer og øvelser

Vektor er den repræsentation, der bestemmer størrelsen, retningen og retningen af en vektormængde. Vektorer er lige segmenter orienteret med en pil i den ene ende.

Vi navngiver vektorerne med et bogstav og en lille pil.

Vektorer karakteriserer vektorstørrelser, som er størrelser, der har brug for orientering, det vil sige retning og retning. Nogle eksempler er: kraft, hastighed, acceleration og forskydning. Den numeriske værdi er ikke nok, det er nødvendigt at beskrive, hvor disse mængder virker.

modul af en vektor

Vektorens modul eller intensitet er dens numeriske værdi efterfulgt af måleenheden for den størrelse, den repræsenterer, for eksempel:

Længdevektor lig med 2 m. — Vektor, der repræsenterer længdens størrelse, med et modul på to meter.

Vi angiver modulet mellem streger med pilen eller blot bogstavet uden streger og uden pil.

Længden af vektoren er proportional med modulet. En større vektor repræsenterer et større modul.

Sammenligning mellem modulerne af to vektorer, den ene med 4 og den anden med 3 måleenheder.

vektormodulet lige b med hævet højre pil er 4 enheder, mens vektor lige a med hævet højre pil er 2 enheder.

Retning af en vektor

Vektorens retning er hældningen af støttelinjen, hvorpå den er bestemt. Der er kun én retning for hver vektor.

instagram story viewer

Vektorerne a, b og c med lodret, vandret og skrå hældning. — Lodrette, vandrette og skrå (skrå) retninger af vektorer.

følelse af en vektor

Vektorens retning er vist med pilen. Den samme retning kan indeholde to retninger, såsom op eller ned og venstre eller højre.

Vektor d og dens modsatte -d. — Vektorer med samme retning, vandret og modsat retning.

Ved at adoptere en retning som positiv, er den modsatte retning, negativ, repræsenteret med et minustegn før vektorsymbolet.

Resulterende vektor

Den resulterende vektor er resultatet af vektoroperationer og svarer til et sæt vektorer. Det er bekvemt at kende den vektor, der repræsenterer effekten produceret af mere end én vektor.

For eksempel kan en krop være underlagt et sæt kræfter, og vi ønsker at vide, hvilket resultat de vil producere, alle sammen, på denne krop. Hver kraft er repræsenteret af en vektor, men resultatet kan kun repræsenteres af én vektor: den resulterende vektor.

Den resulterende kraft som et resultat af virkningen af kræfter, der virker på kassen.

Den resulterende vektor, lige R med hævet højre pil , af vandret retning og retning til højre, er resultatet af additioner og subtraktioner af vektorerne. lige a med hævet højre pil , lige b med hævet højre pil , lige c med hævet højre pil og lige d med højre pil hævet . Den resulterende vektor viser en tendens til, at kroppen bevæger sig i denne orientering.

Vektorerne med lodret retning har samme størrelse, det vil sige det samme modul. Da de har modsatte betydninger, ophæver de hinanden. Dette viser, at der ikke vil være nogen bevægelse af kassen i lodret retning.

Ved analyse af vektorerne c med hævet højre pil og d med højre pil hævet , som har samme retning og modsatte retninger, indser vi, at en del af kraften "forbliver" til højre, som vektoren er større end , altså modulet af det er større.

For at bestemme den resulterende vektor udfører vi vektoradditions- og subtraktionsoperationer.

Addition og subtraktion af vektorer med samme retning

Med lige sanser, tilføjer vi modulerne og beholder retningen og retningen.

Eksempel:

Summen af vektorerne a og b, med samme retning og retning.

Grafisk placerer vi vektorerne i rækkefølge uden at ændre deres moduler. Begyndelsen af den ene skal falde sammen med slutningen af den anden.

Den kommutative egenskab for addition er gyldig, da rækkefølgen ikke ændrer resultatet.

Med modsatte sanser, trækker vi modulerne fra og holder retningen. Retningen af den resulterende vektor er retningen for vektoren med det største modul.

Eksempel:
Subtraktion mellem to vektorer med samme retning.

vektoren lige R med hævet højre pil er den resterende del af lige b med hævet højre pil , efter tilbagetrækning lige a med hævet højre pil .

At subtrahere en vektor svarer til at addere med det modsatte af den anden.
lige a mellemrum minus lige mellemrum b mellemrum er lig med lige mellemrum a mellemrum plus mellemrum venstre parentes minus lige b højre parentes mellemrum

Addition og subtraktion af vinkelrette vektorer

For at tilføje to vektorer med vinkelrette retninger flytter vi vektorerne uden at ændre deres modul, så begyndelsen af den ene falder sammen med slutningen af den anden.

Den resulterende vektor forbinder begyndelsen af den første til slutningen af den anden.

For at bestemme størrelsen af den resulterende vektor mellem to vinkelrette vektorer matcher vi starten af de to vektorer.

Modulus af den resulterende vektor mellem to vinkelrette vektorer.

Modulet for den resulterende vektor bestemmes af Pythagoras sætning.

startstil matematik størrelse 20px lige R er lig kvadratroden af lige a kvadrat plus lige b kvadratisk slutning af rod slutningen af stilart

Addition og subtraktion af skrå vektorer

To vektorer er skrå, når de danner en vinkel mellem deres retninger, der ikke er 0°, 90° og 180°. For at addere eller subtrahere skrå vektorer bruges parallelogram- og polygonallinjemetoderne.

parallelogram metode

For at udføre metoden eller reglen for parallelogrammet mellem to vektorer og tegne den resulterende vektor, følger vi disse trin:

Det første trin er at placere deres oprindelse i samme punkt og tegne linjer parallelt med vektorerne for at danne et parallelogram.

Den anden er at tegne en diagonal vektor på parallelogrammet, mellem foreningen af vektorer og foreningen af parallelle linjer.

Vektor fremkommer af summen af to skrå vektorer.

De stiplede linjer er parallelle med vektorerne, og den dannede geometriske figur er et parallelogram.

Den resulterende vektor er den linje, der forbinder vektorernes oprindelse med parallellerne.

O modul af den resulterende vektor er opnået ved Cosinus-loven.

startstil matematik størrelse 20px lige R er lig med kvadratroden af lige a kvadrat plus lige b kvadrat plus 2 ab. cosθ slutningen af rod slutningen af stilen

Hvor:

R er størrelsen af den resulterende vektor;
a er vektormodulet den hævede højre pil ;
b er vektorens modul pæleplads b med højre pil over ;
lige mejs er vinklen dannet mellem vektorernes retninger.

Parallelogrammetoden bruges til at tilføje et par vektorer. Hvis du vil tilføje mere end to vektorer, skal du tilføje dem to og to. Til vektoren, der er resultatet af summen af de to første, tilføjer vi den tredje og så videre.

En anden måde at tilføje mere end to vektorer på er at bruge polygonlinjemetoden.

polygonal linje metode

Metoden med polygonal linje bruges til at finde den vektor, der er resultatet af tilføjelse af vektorer. Denne metode er især nyttig, når der tilføjes mere end to vektorer, såsom følgende vektorer lige a med hævet højre pil , lige b med hævet højre pil , lige c med hævet højre pil og lige d med højre pil hævet .

Vektorer i forskellige retninger og orienteringer.

For at bruge denne metode skal vi ordne vektorerne, så slutningen af en (pil) falder sammen med begyndelsen af en anden. Det er vigtigt at bevare modulet, retningen og retningen.

Efter at have arrangeret alle vektorerne i form af en polygonal linje, skal vi spore den resulterende vektor, der går fra begyndelsen af den første til slutningen af den sidste.

Resultatvektor bestemt ved polygonal linjemetoden.

Det er vigtigt, at den resulterende vektor lukker polygonen, idet dens pil falder sammen med pilen i den sidste vektor.

Den kommutative egenskab er gyldig, da rækkefølgen, som vi placerer plot-vektorerne i, ikke ændrer den resulterende vektor.

vektor nedbrydning

At dekomponere en vektor er at skrive de komponenter, der udgør denne vektor. Disse komponenter er andre vektorer.

Hver vektor kan skrives som en sammensætning af andre vektorer gennem en vektorsum. Med andre ord kan vi skrive en vektor som værende summen af to vektorer, som vi kalder komponenter.

Ved hjælp af et kartesisk koordinatsystem, med vinkelrette x- og y-akser, bestemmer vi vektorens komponenter.

start stil matematik størrelse 20px lige a med højre pil hævet er lig med lige mellemrum a med højre pil hævet med lige x sænket mellemrum plus lige mellemrum a med højre pil hævet med lige y sænket slutningen af stil

vektoren lige a med hævet højre pil er resultatet af vektorsummen mellem komponentvektorerne. lige a med højre pil hævet med lige x nedskrevet og .

vektoren lige a med hævet højre pil vippe lige mejs danner en retvinklet trekant med x-aksen. Således bestemmer vi modulerne af komponentvektorerne ved hjælp af trigonometri.

Komponentmodul akse.
start stil matematik størrelse 16px lige a med lige x subscript er lig med lige mellemrum a. cos straight space theta end of style

Komponentmodul ay.
start stil matematik størrelse 16px lige a med y subscript lig med lige mellemrum a. sen straight space theta end of style

vektormodulet lige a med hævet højre pil er hentet fra Pythagoras sætning.

start stil matematik størrelse 20px lige a lig med kvadratroden af lige a med lige x sænket kvadrat lige a med lige y sænket kvadrat slutningen af rod slutningen af stilen

Eksempel
En kraft udføres ved at trække en blok fra jorden. 50 N modulkraften vippes 30° fra vandret. Bestem de vandrette og lodrette komponenter af denne kraft.

Data: sin mellemrum 30 graders tegn lig med tæller 1 mellemrum over nævner 2 ende af brøk lige e mellemrum cos mellemrum 30 graders tegn lig med tæller kvadratroden af 3 over nævner 2 ende af brøkdel

Fx mellemrum lig med lige mellemrum F mellemrum cos lige mellemrum theta lig med 50. tæller kvadratrod af 3 over nævner 2 ende af brøk lig med 25 kvadratrod af 3 lige rum N asymptotisk lig 43 komma 30 lige mellemrum N Fy mellemrum lig med lige mellemrum F mellemrum sin lige mellemrum theta lig med 50,1 halv lig med 25 mellemrum lige N

Multiplikation af et reelt tal med en vektor

Ved at gange et reelt tal med en vektor vil resultatet være en ny vektor, som har følgende egenskaber:

Samme retning, hvis det reelle tal er ikke-nul;
Samme retning, hvis det reelle tal er positivt, og i den modsatte retning, hvis det er negativt;
Modulet vil være produktet af modulet af det reelle tal og modulet af den multiplicerede vektor.

Produkt mellem et reelt tal og en vektor

start stil matematik størrelse 20px lige u med højre pil hævet er lig lige n lige v med højre pil hævet slutningen af stilen

Hvor:
lige u med hævet højrepil er vektoren, der er resultatet af multiplikationen;
lige er det reelle tal;
lige v med hævet højre pil er vektoren, der ganges.

Eksempel
Lad det reelle tal n = 3 og vektoren lige v med hævet højre pil af modulo 2 er produktet mellem dem lig med:

Modulberegning
Fejl ved konvertering fra MathML til tilgængelig tekst.

Retningen og retningen vil være den samme.

Multiplikation af et reelt tal n med en vektor v.

Øvelse 1

(Enem 2011) Friktionskraften er en kraft, der afhænger af kontakten mellem legemer. Det kan defineres som en modsatrettede kraft til legemers forskydningstendens og genereres på grund af uregelmæssigheder mellem to overflader i kontakt. På figuren repræsenterer pilene kræfter, der virker på kroppen, og den forstørrede prik repræsenterer de uregelmæssigheder, der eksisterer mellem de to overflader.

På figuren er vektorerne, der repræsenterer de kræfter, der forårsager forskydning og friktion, henholdsvis:

Det) Alternativ til - Enem spørgsmål om vektorer.

B) Alternativ b - Enem spørgsmål om vektorer.

ç) Alternativ c - Enem spørgsmål om vektorer.

d) Alternativ d - Enem spørgsmål om vektorer.

og) Alternativ e - Enem spørgsmål om vektorer.

Se Svar

Korrekt svar: bogstav a) Alternativ til - Enem spørgsmål om vektorer.

Pilene repræsenterer vektorerne af kræfter, der virker i bevægelsen i vandret retning, da de er et handling-reaktionspar, har de modsatte retninger.

De lodrette pile repræsenterer vægtkraftens og normalkraftens handlinger, og da de er lige store, ophæver de hinanden uden bevægelse i lodret retning.

Øvelse 2

(UEFS 2011) Vektordiagrammet i figuren skitserer de kræfter, som to gummibånd udøver på en tand hos en person, der gennemgår tandregulering.

Antages F = 10,0N, sen45° = 0,7 og cos45° = 0,7, er intensiteten af kraften, som elastikkerne påfører tanden, i N lig med

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Se Svar

Korrekt svar: c) 2√85

Intensiteten af den kraft, der påføres tanden, opnås af Cosinusloven.

R i anden er lig med a kvadreret plus b i anden potens plus 2 a b cos theta

a og b er lig med 10 N.

R i anden er lig med 10 i anden plus 10 i anden plus 2.10.10. cos 45 graders tegn R i anden er lig med 100 plus 100 plus 2.10.10.0 point 7 R i anden er lig 340 R er lig med kvadratroden af 340

Faktorering af kvadratroden giver os:

Derfor er intensiteten af den resulterende kraft påført af gummibåndene på tanden 2 kvadratrod af 85 lige mellemrum N .

Øvelse 3

(PUC RJ 2016) Kræfterne F1, F2, F3 og F4 på figuren danner rette vinkler på hinanden og deres moduler er henholdsvis 1 N, 2 N, 3 N og 4 N.

Billede forbundet med løsningen af spørgsmålet.

Beregn modulet af nettokraften i N.

a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Se Svar

Rigtigt svar: d) 2√ 2

Vi bruger den polygonale linje metode til at bestemme den resulterende vektor. For at gøre dette omarrangerer vi vektorerne, så slutningen af den ene falder sammen med begyndelsen af den anden, sådan: