sættet af Primtal er genstand for undersøgelse i matematik fra det antikke Grækenland. Euklides diskuterede allerede i sit store værk "The Elements" emnet og formåede at demonstrere, at dette sæt er uendelig. Som vi ved, er primtallene dem, der har tallet 1 som divisor, og de selv, således, at finde meget store primtal er ikke en nem opgave, og Eratosthenes' sigte gør det nemt. møde.
Hvordan ved man, hvornår et tal er primtal?
Vi ved, at et primtal er ahvem der har som skillevæg nummer 1 og ham selv, så et tal, der på sin liste over divisorer har andre tal end 1 og i sig selv ikke vil være primtal, se:
Ved at liste 11 og 30 skillevægge har vi:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Bemærk, at tallet 11 kun har tallet 1 og sig selv som divisor, så nummer 11 er et primtal. Se nu på divisorerne for tallet 30, det har, udover tallet 1 og sig selv, tallene 2, 3, 5, 6 og 10 med divisorer. Derfor, tallet 30 er ikke primtal.
→ Eksempel: Angiv primtal mindre end 15.
Til dette vil vi angive divisorerne for alle tal mellem 2 og 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Således er primtal mindre end 15:
2, 3, 5, 7, 11 og 13
Lad os se det i øjnene, denne opgave ville for eksempel ikke være særlig behagelig, hvis vi skulle skrive alle primtal mellem 2 og 100 ned. For at undgå det, vil vi lære at bruge, i det næste emne, Eratosthenes si.
Si af Eratosthenes
Sigten af Eratosthenes er en værktøj, der har til formål at lette bestemmelsen af primtal. Sigten består af fire trin, og det er nødvendigt, for at forstå dem, at huske på delelighedskriterier. Før vi starter trin for trin, skal vi oprette en tabel fra tallet 2 til det ønskede tal, da tallet 1 ikke er primtal. Derefter:
→ Trin 1: Fra delelighedskriteriet med 2 har vi, at de lige tal alle er delelige med det, dvs. nummer 2 vises på listen over divisorer, så disse tal vil ikke være primtal, og vi skal udelukke dem fra bord. Er de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Trin 2: Fra kriteriet om delelighed med 3 ved vi, at et tal er deleligt med 3, hvis sum af sine cifre er det også. Vi skal altså udelukke disse tal fra tabellen, da de ikke er primtal, fordi der er et andet tal end 1 og sig selv i listen over divisorer. Så vi skal udelukke tallene:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Trin 3: Fra kriteriet om delelighed med 5 ved vi, at alle tal, der ender på 0 eller 5, er delelige med 5, så vi skal udelukke dem fra tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Trin 4: På samme måde skal vi udelukke tal, der er multipla af 7, fra tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
– Når vi kender Eratosthenes si, så lad os bestemme primtallene mellem 2 og 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ er ikke fætre
→ Primtal
Så primtallene mellem 2 og 100 er:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Læs også: MMC og MDC beregning: hvordan gør man det?
Prime faktor nedbrydning
DET prime faktor nedbrydning er formelt kendt som aritmetikkens grundsætning. Denne sætning siger, at evt heltal forskellig fra 0 og større end 1 kan repræsenteres ved produktet af primtal. For at bestemme den faktorerede form af et heltal skal vi udføre successive divisioner, indtil vi når resultatet lig med 1. Se eksemplet:
→ Bestem den faktorerede form for tallene 8, 20 og 350.
For at faktorisere tallet 8 skal vi dividere det med det første mulige primtal, i dette tilfælde med 2. Derefter udfører vi en anden division også med det primtal, der er muligt, denne proces gentages, indtil vi når tallet 1 som svaret på divisionen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Derfor er den faktorerede form af tallet 8 2 · 2 · 2 = 23. For at lette denne proces vil vi anvende følgende metode:
Derfor kan tallet 8 skrives som: 23.
→ For at faktorisere tallet 20 vil vi bruge samme metode, det vil sige: dividere det med primtal.
Så tallet 20, i sin faktorerede form, er: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samme måde vil vi gøre med tallet 350.
Derfor er tallet 350 i sin faktorerede form: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se også: Videnskabelig notation: hvad er det til for?
løste øvelser
Spørgsmål 1 – Forenkle udtrykket:
Løsning
Lad os først faktorisere udtrykket for at gøre det lettere.
Således er 1024 = 210, og derfor kan vi erstatte det ene med det andet i øvelsesudtrykket. Dermed:
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm