Newtons binomial er ethvert binomium hævet til et tal ingen på hvilke ingen det er et naturligt tal. Takket være fysikerens studier Isaac Newton om binomialernes beføjelser var det muligt kontrollere regelmæssigheder, der letter repræsentationen af polynomet genereret fra kraften i et binomial.
Overholdelse af disse regelmæssigheder blev det også muligt find kun en af betingelserne i polynomuden at skulle beregne det hele ved hjælp af formlen for det generelle udtryk for et binomium. Derudover bemærkede Newton et forhold mellem kombinatorisk analysea og Newtons binomaler, hvad der gjorde Pascals trekant et godt værktøj til den mere praktiske udvikling af et Newton binomium.
Læs også: Briot-Ruffini-enhed - metode til opdeling af polynomer
Definition af Newtons binomial
Vi definerer som binomialpolynom, som har to udtryk. I nogle applikationer inden for matematik og fysik er det nødvendigt at beregne et binomiers kræfter. For at lette processen Isaac Newton bemærkede vigtige regelmæssigheder der giver os mulighed for at finde det polynom, der er resultatet af et binomial.
I nogle tilfælde er beregningen ret enkel: udfør bare multiplikation af binomialet i sig selv ved hjælp af den distribuerende egenskab. Op til en styrke af ordre 3 udvikler vi os uden megen indsats, da de er de velkendte bemærkelsesværdige produkter, men for højere kræfter, beregne ud fra multiplikationen af udtrykket i sig selv ingen nogle gange er det meget arbejde.
Eksempler
Husk, at hvert tal, der hæves til nul, er lig med 1, og at hvert tal, der hæves til 1, er i sig selv, hvilket også gælder for binomierne.
Newton bemærkede en forholdet mellem koefficienterne for hver af termerne og kombinationen, som tillod beregning af en binomials styrke mere direkte fra følgende formel:
Forstå formlen:
Lad os først se på den bogstavelige del af hvert udtryk, som er brevet med dets eksponent. Bemærk, at eksponenten for “a ”faldt, begyndende ved n, derefter gå til n - 1 og så videre, indtil det var 1 i den næstsidste sigt og 0 i sidste sigt (hvilket gør, at bogstavet“ a ”ikke engang vises i sidste sigt).
identificere Det og dens eksponenter:
Lad os nu analysere eksponenterne for "b", som altid øges, begyndende med 0 i første periode ( hvilket gør, at bogstavet b ikke vises i den første periode), 1 i den anden periode og så videre, indtil den er lige Det ingeni sidste periode.
identificere B og dens eksponenter:
Forstå den bogstavelige del, lad os analysere koefficienterne, som alle er kombinationer af ingen elementer taget fra 0 til 0, 1 til 1, 2 til 2 osv. indtil den sidste periode, som er kombinationen af ingen elementer taget fra ingen i ingen.
Det er bemærkelsesværdigt, at det er vigtigt at mestre beregningen af kombinationer at være i stand til at finde koefficienterne. Husk, at vi skal beregne kombinationer:
Kombinationsresponsen er altid en naturligt tal.
Se også: Polynomial division: hvordan løser man det?
Eksempel: Beregn Newtons binomium (a + b) til den fjerde effekt.
1. trin: skriv polynomet ved hjælp af formlen.
2. trin: beregne kombinationerne.
Ved at erstatte kombinationerne vil det fundne polynom være:
Du kan se, at det at løse sager som dette stadig er besværligt, afhængigt af eksponenten, men alligevel er det hurtigere end at beregne ved hjælp af den distribuerende ejendom. Et værktøj, der kan hjælpe med denne beregning, er Pascals trekant.
Pascals trekant
Pascal-trekanten blev udviklet af Blaise Pascal under undersøgelsen af kombinationer. Han er en måde, der gør det lettere at beregne kombinationer. Brug af Pascal-trekanten gør det hurtigere og lettere at finde koefficienterne for de bogstavelige dele af et Newton-binomium uden at skulle beregne alle kombinationerne.
For at konstruere Pascals trekant direkte, lad os huske to situationer, hvor kombinationsberegningen er lig med 1.
Således er den første og sidste periode af alle linjer altid lig med 1. De centrale udtryk er bygget ud fra summen af udtrykket over det plus dets nabo fra den forrige kolonne, som i nedenstående repræsentation:
For at opbygge de næste linjer skal du bare huske at den første periode er 1 og den sidste også. Så er det nok at gøre summerne for at opdage de centrale begreber.
Også adgang: Teori for polynomisk nedbrydning
Eksempel: Beregn (a + b) til den sjette effekt.
1. trin: anvende binomialformlen.
2. trin: bygge Pascals trekant op til 6. linje.
3. trin: udskift kombinationerne med værdierne i linje 6, som er koefficienterne for hver af binomialets termer.
Hvad der bestemmer antallet af linjer, vi skal bygge fra binomialet, er værdien af n. Det er vigtigt at huske, at den første linje er nul.
Newtons binomiale generelle betegnelse
Newtons generelle udtryk binomial er en formel, der giver os mulighed for at beregne et binomialudtryk uden at skulle udvikle hele polynomet, det vil sige, vi kan identificere et vilkår fra første til sidste. Med formlen beregner vi direkte det udtryk, vi leder efter.
Det: første periode
B: anden periode
n: eksponent
p + 1: søgeterm
Eksempel: Find binomialets 11. sigt (a + b)12.
Løsning:
Se også: Demonstrationer igennem af algebraisk beregning
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (Cesgranrio) Koefficienten x4 i polynomet P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Løsning
Vi ønsker at finde et bestemt udtryk til løsning af binomialet; til det skal vi finde værdien af p.
Vi ved, at det første udtryk i dette tilfælde er lig med x, så n - p = 4, som n = 6, har vi:
Derfor er koefficienten 60 (alternativ B).
Spørgsmål 2 - (Unifor) Hvis den centrale betegnelse for binomial udvikling (4x + ky)10 til 8064x5y5, så vil alternativet, der svarer til værdien af k, være:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Løsning: Vi ved, at det centrale udtryk har lige koefficienter (p = 5). Lad os finde den 6. periode, da p + 1 = 6. Desuden har vi, at a = 4x; b = ky og n = 10, så:
Alternativ D.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
