En funktion kaldes polynomfunktion, når dens dannelseslov er en polynom. Polynomfunktioner klassificeres efter graden af deres polynom. For eksempel, hvis polynomet, der beskriver funktionsdannelsesloven, har grad to, siger vi, at dette er en polynomfunktion af anden grad.
For at beregne den numeriske værdi af en polynomfunktion skal du bare erstatte variabel med ønsket værdi, omdanne polynomet til et numerisk udtryk. I studiet af polynomiske funktioner er grafisk repræsentation ret tilbagevendende. Første grads polynomfunktion har en graf, der altid er lig med en lige linje. 2. graders funktion har en graf svarende til en parabel.
Læs også: Hvad er forskellen mellem en ligning og en funktion?
Hvad er en polynomfunktion?
En funktion f: R → R er kendt som en polynomfunktion, når dens dannelseslov er et polynom:
f (x) = aingenxingen + denn-1xn-1 + denn-2xn-2 +… + Den2x2 + den1x + a0
På hvilke:
x → er variablen.
n → er en naturligt tal.
Detingen, an-1, an-2, … Det2,Det1 og0 → er koefficienter.
Koefficienterne er reelle tal der ledsager den polynomiale variabel.
Eksempler:
f(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x3 + x - 7
f(x) = x9
Hvordan bestemmes polynomfunktionstypen?
Der er flere typer polynomiske funktioner. Hun er klassificeret efter graden af polynomet. Når graden er 1, er funktionen kendt som en polynomfunktion af grad 1 eller polynomfunktion af 1. grad eller også en affinefunktion. Se nedenfor for eksempler på funktioner fra grad 1 til grad 6.
Se også: Hvad er en injektorfunktion?
grad af polynomfunktion
Hvad der definerer graden af den polynomiale funktion er graden af polynomet, så vi kan have en polynomfunktion af enhver grad.
Grad 1 polynomfunktion
For at en polynomfunktion skal være enten grad 1 eller 1. grads polynom, loven om dannelse af funktionen må være f(x) = økse + b, hvor a og b er reelle tal og a ≠ 0. DET grad 1 polynomfunktion det er også kendt som en affin funktion.
Eksempler:
f(x) = 2x - 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Grad 2 polynomfunktion
For at en polynomfunktion skal være 2. graders polynom eller 2. grads polynom, skal lov om funktionsdannelse må væref(x) = ax² + bx + c, hvor a, b og c er reelle tal og a ≠ 0. En 2. graders polynomfunktion det kan også være kendt som en kvadratisk funktion.
Eksempler:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = - x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Grad 3 polynomfunktion
For at en polynomfunktion skal være en 3. eller 3. grads polynom, skal lov om funktionsdannelse må væref(x) = ax³ + bx² + cx + d, hvor a og b er reelle tal og a ≠ 0. Funktionen af grad 3 kan også kaldes en kubisk funktion.
Eksempler:
f(x) = 2x3 - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x3 + 4x² + 2x
f(x) = 3x3 + 8x - 4
f(x) = -7x3
Grad 4 polynomfunktion
Både for den polynomiske funktion af grad 4 og for de andre er ræsonnementet det samme.
Eksempler:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Grad 5 polynomfunktion
Eksempler:
f(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Polynomfunktion af grad 6
Eksempler:
f(x) = 2x6 - 7x5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Funktionens numeriske værdi
Kendskab til rolledannelsesloven f(x) for at beregne den numeriske værdi af beskæftigelse for en værdi ingen, bare beregne værdien af f(ingen). Derfor, vi erstattede variablen i dannelsesloven.
Eksempel:
givet funktionen f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, vi finder den numeriske værdi af funktionen til x = 2.
For at finde værdien af f(x) når x = 2, gør vi det f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Vi kan sige, at funktionens billede eller funktionens numeriske værdi, når x = 2, er lig med 14.
Se også: Invers funktion - består af invers af funktionen f (x)
Grafer for polynomiske funktioner
At repræsentere i Cartesian fly funktionen repræsenterer vi på x-aksen værdierne for x og billedet af f(x), efter punkter i planet. Punktene på det kartesiske plan er af typen (ingen, f(ingen)).
Eksempel 1:
f(x) = 2x - 1
Grafen for en 1. grads funktion er altid en lige.
Eksempel 2:
f(x) = x² - 2x - 1
2. graders funktionsgraf er altid en lignelse.
Eksempel 3:
f(x) = x³ - x
Grafen for 3. graders funktion er kendt som kubisk.
Ligestilling af polynomer
For at to polynomer skal være ens, er det nødvendigt, at når du udfører Sammenligning ind i mellem du dit vilkår, koefficienterne er de samme.
Eksempel:
Givet følgende polynomer p (x) og g (x), og vel vidende at p (x) = g (x), find værdien af a, b, c og d.
p (x) = 2x3 + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax3 + (a + b) x² + (c - 2) x + d
Da polynomierne er de samme, har vi det:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4
Bemærk, at vi allerede har værdien d, da d = -4. Nu skal vi beregne hver af koefficienterne:
ax³ = 2x³
a = 2
Når vi kender værdien af a, lad os finde værdien af b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Finde værdien af c:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Se også: Polynomligning - Ligning karakteriseret ved at have et polynom lig med 0
Polynomiske operationer
Givet to polynomer er det muligt at udføre operationerne af tilføjelse, subtraktion og multiplikation mellem disse algebraiske termer.
Tilføjelse
Tilsætningen af to polynomer beregnes ved hjælp af summen af durlignende hænder. For at to udtryk skal være ens, skal den bogstavelige del (bogstav med eksponent) være den samme.
Eksempel:
Lad p (x) = 3x² + 4x + 5 og q (x) = 4x² - 3x + 2, beregne værdien af p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Fremhævning af lignende udtryk:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Lad os nu tilføje koefficienterne for lignende udtryk:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Polynomisk subtraktion
Subtraktion svarer meget til tilføjelse, men før operationen udføres, vi skriver det modsatte polynom.
Eksempel:
Data: p (x) = 2x² + 4x + 3 og q (x) = 5x² - 2x + 1, beregne p (x) - q (x).
Det modsatte polynom af q (x) er -q (x), hvilket ikke er andet end polynomet q (x) med det modsatte af hvert af udtrykkene.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
Så vi beregner:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Forenkling af lignende udtryk har vi:
(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Polynomial multiplikation
Multiplikation af polynom kræver anvendelse af distributionsejendomme, det vil sige vi multiplicerer hvert udtryk i det første polynom med hvert udtryk i det andet udtryk.
Eksempel:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
Når vi anvender den distribuerende ejendom, skal vi:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
polynomisk opdeling
For at beregne opdeling mellem to polynomer, vi bruger den samme metode, som vi bruger til at beregne delingen af to tal, nøglemetoden.
Eksempel:
Beregn p (x): q (x), vel vidende at p (x) = 15x² + 11x + 2 og q (x) = 3x + 1.
Læs også: Handy Briot-Ruffini-enhed - en anden metode til beregning af opdeling af polynomer
Øvelser løst
Spørgsmål 1 - De daglige produktionsomkostninger for en bilindustri til at producere en bestemt mængde dele er angivet i dannelsesloven f(x) = 25x + 100, hvor x er antallet af stykker, der produceres den dag. Ved at vide, at der på en given dag blev produceret 80 stykker, var produktionsomkostningerne for disse stykker:
A) 300 BRL
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) BRL 1800
E) BRL 1250
Løsning
Alternativ B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Spørgsmål 2 - Funktionsgraden h (x) = f(x) · g(x) ved at vide det f (x) = 2x² + 5x og g(x) = 4x - 5, er:
TIL 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Løsning
Alternativ C
Først finder vi det polynom, der er resultatet af multiplikationen mellem f(X og g(x):
f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(x) · g(x) = 8x3 - 10x² + 20x - 25x
Bemærk, at dette er et polynomium, der er af grad 3, så graden af funktionen h (x) er 3.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
