Pascals trekant: hvad er det, funktion, egenskaber

protection click fraud

O Pascals trekant det er et ret gammelt matematisk værktøj. Gennem historien har den fået flere navne, men de mest vedtagne i dag er aritmetisk trekant og Pascals trekant. Det andet navn er en hyldest til matematikeren, der gav flere bidrag til studiet af denne trekant. betyder, at trekanten er opfundet af ham, men det var ham, der lavede en dybere undersøgelse af dette værktøj.

Ud fra egenskaberne for Pascal trekanten er det muligt at konstruere den logisk. Også skiller sig ud din forhold til kombinationer studeret i kombinatorisk analyse. Vilkårene i Pascal-trekanten svarer også til binomiale koefficienter, og derfor er det meget nyttigt til at beregne enhver Newton-binomial.

Læs også: Briot-Ruffini enhed - metode til at dividere polynomier

Konstruktion af Pascals trekant

Pascals trekant fremstilles ud fra resultatet af kombinationerne, men der er en praktisk metode, der letter måden at bygge den på. Den første række og den første kolonne tælles som række nul og kolonne nul. Vi kan bruge så mange linjer som nødvendigt

instagram story viewer

i denne konstruktion kan trekanten derfor have uendelige linjer. Begrundelsen for udarbejdelsen af linjerne er altid den samme. Se:

Vi ved det trekantsled er kombinationer, studerede i kombinatorisk analyse. For at erstatte Pascals trekant med numeriske værdier ved vi, at kombinationerne af et tal med nul og et tal med sig selv altid er lig med 1. Derfor er den første og sidste værdi altid 1.

For at finde de andre starter vi med linje 2, da linje 0 og linje 1 allerede er færdige. I linje 2, for at finde kombinationen af 2 til 1, i linjen ovenfor, det vil sige i linje 1, lad os tilføje termen over den i samme kolonne og termen over den i den forrige kolonne, som vist på billedet :

Efter at have bygget linje 2 er det muligt at bygge linje 3 ved at udføre den samme procedure.

Hvis vi fortsætter denne procedure, finder vi alle vilkårene – i dette tilfælde op til linje 5 – men det er muligt at bygge så mange linjer som nødvendigt.

Egenskaber ved Pascals trekant

Der er nogle egenskaber ved Pascals trekant, på grund af regelmæssigheden i dens konstruktion. Disse egenskaber er nyttige til at arbejde med kombinationer, selve konstruktionen af trekantlinjer og summen af linjer, søjler og diagonaler.

1. ejendom

Den første ejendom var den, vi brugte til at bygge trekanten med. Så til find et led i Pascals trekant, skal du blot tilføje det udtryk, der er i rækken over det, og den samme kolonne med det udtryk, der er i kolonnen og rækken før det. Denne egenskab kan repræsenteres som følger:

Denne ejendom er kendt som Stifels forhold og det er vigtigt at lette konstruktionen af trekanten og finde værdierne for hver af linjerne.

2. ejendom

Summen af alle led i en række udregnes ved:

s_ingen=2^ingen, på hvilke ingen er linjenummeret.

Eksempler:

Med denne ejendom er det muligt at vide summen af alle led på en linje uden nødvendigvis at skulle konstruere Pascals trekant. Summen af linje 10 kan f.eks. beregnes med 2¹⁰= 1024. Selvom ikke alle termer er kendt, er det allerede muligt at kende sumværdien af hele linjen.

3. ejendom

Summen af led i rækkefølgen fra begyndelsen af en given kolonne til op til en bestemt linje ingen er det samme som udtrykket på linjen n+1 ryg og kolonne p+1 senere, som vist nedenfor:

4. ejendom

Summen af en diagonal, der starter i kolonne 0 og går til led i kolonne p og række n, er lig med led i samme kolonne (p), men i rækken nedenfor (n+1), som vist på billedet :

5. ejendom

Der er symmetri i linjerne i Pascals trekant. Første og andet led er lige store, andet og næstsidste led er lige, og så videre.

Eksempel:

Linje 6: 1615 20 156 1.

Bemærk, at termerne er lig to til to, bortset fra det centrale led.

Se også: Polynomial division: hvordan løses det?

Newtons binomiale

Vi definerer Newtons binomiale a ens magt polynomium som har to udtryk. Beregningen af et binomial er relateret til Pascal-trekanten, som bliver en mekanisme til at beregne det, vi kalder binomiale koefficienter. For at beregne et binomium bruger vi følgende formel:

Bemærk, at eksponentværdien af Det den aftager, indtil den i sidste termin er lig med Det⁰. Vi ved, at hvert tal hævet til 0 er lig med 1, deraf udtrykket Det optræder ikke i sidste semester. Bemærk også, at eksponenten for B starter med B⁰, snart B vises ikke i den første periode og stiger, indtil den når B^ingen, i sidste periode.

Ydermere er tallet, der ledsager hvert af termerne, det, vi kalder en koefficient – i dette tilfælde kendt som en binomial koefficient. For bedre at forstå, hvordan man løser denne type binomial, kan du få adgang til vores tekst: Newtons binomiale.

binomial koefficient

Den binomiale koefficient er intet andet end kombinationen, som kan beregnes ved hjælp af formlen:

For at lette beregningen af Newtons binomiale er det dog essentielt at bruge Pascal-trekanten, da den giver os resultatet af kombinationen hurtigere.

Eksempel:

For at finde resultatet af den binomiale koefficient, lad os finde værdierne af række 5 i Pascals trekant, som er {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1 år⁵

Kort fortalt:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Pascals trekant er dannet af binomiale koefficienter.

løste øvelser

Spørgsmål 1 - Værdien af udtrykket nedenfor er?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Løsning

Alternativ A.

Ved at omgruppere de positive og negative værdier skal vi:

Bemærk, at vi faktisk beregner subtraktionen mellem linje 4 og linje 3 i Pascals trekant. Ved ejendom ved vi, at:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

Spørgsmål 2 - Hvad er værdien af udtrykket nedenfor?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Løsning

Alternativ B.

Bemærk, at vi tilføjer vilkårene fra kolonne 1 i Pascals trekant til række 7 og derefter til den 3. egenskab, er værdien af denne sum lig med det led, der optager række 7+1 og kolonne 1+1, det vil sige række 8, kolonne 2. Da vi kun vil have én værdi, er det ikke praktisk at konstruere hele Pascal-trekanten.