Sammensatte interesseøvelser

Sammensat rente repræsenterer den korrektion, der er anvendt på et beløb, der er lånt eller anvendt. Denne type korrektion kaldes også renterenter.

Som et indhold med stor anvendelighed vises det ofte i konkurrencer, optagelsesprøver og på Enem. Brug derfor nedenstående spørgsmål til at bekræfte din viden om dette indhold.

Kommenterede spørgsmål

1) Enem - 2018

En låneaftale bestemmer, at når en rate betales forud, vil der blive givet en rentenedsættelse i overensstemmelse med forskudsperioden. I dette tilfælde betales nutidsværdien, hvilket er værdien på det tidspunkt, af et beløb, der skal betales på en fremtidig dato. En nutidsværdi P, der indgives til sammensat rente til rente i, i en periode n, producerer en fremtidig værdi V bestemt af formlen

I en låneaftale med tres månedlige faste rater på $ 820,00 til en rente på 1,32% pr. Måned sammen med den tredive rate betales en anden rate på forhånd, forudsat at rabatten er større end 25% af værdien af del.

Brug 0.2877 som en tilnærmelse til og 0,0131 som en tilnærmelse til ln (1.0132).
Den første del, der kan forventes sammen med den 30. er

a) 56
b) 55
c) 52
d) 51.
e) 45

Se svar

I det foreslåede spørgsmål ønsker vi at finde ud af, hvilken rate, der anvender rentenedsættelsen ved forudbetaling, det betalte beløb har en rabat på mere end 25%, det vil sige:

Forenkling af fraktionen (dividering af top og bund med 25), idet man opdager, at det beløb, der skal betales for forskudsbetalingen, skal være:

Den forventede rate svarer til den fremtidige værdi korrigeret til nutidsværdien, dvs. diskonteret 1,32% -renten ved betaling af denne rate inden løbetiden, dvs.

Hvor n er lig med den forventede periode. Vi har erstattet dette udtryk i det foregående:

Da 820 vises på begge sider af uligheden, kan vi forenkle og "skære" denne værdi:

Vi kan vende fraktionerne og være omhyggelige med at vende tegnet på ulighed. Så vores udtryk er:

Bemærk, at den værdi, vi vil finde, er i eksponenten (n). For at løse uligheden vil vi derfor anvende den naturlige logaritme (ln) på begge sider af uligheden, det vil sige:

Nu kan vi erstatte de værdier, der er angivet i udsagnet og finde værdien af ​​n:

Da n skal være større end den fundne værdi, bliver vi nødt til at forudse 22 rater, det vil sige, vi betaler den 30. rate sammen med den 52. (30 + 22 = 52).

Alternativ: c) 52

2) Enem - 2011

En ung investor skal vælge, hvilken investering der giver ham det største økonomiske afkast i en investering på R $ 500,00. For at gøre dette undersøger den indkomst og skat, der skal betales på to investeringer: opsparing og CDB (bankindskudsbevis). De opnåede oplysninger er opsummeret i tabellen:

For den unge investor er den mest fordelagtige applikation i slutningen af ​​en måned

a) besparelser, da det vil udgøre R $ 502,80.
b) besparelser, da det beløber sig til R $ 500,56.
c) CDB, da det i alt udgør et beløb på R $ 504,38.
d) CDB, da det i alt udgør et beløb på R $ 504,21.
e) CDB, da det i alt udgør et beløb på R $ 500,87.

Se svar

For at finde ud af, hvad det bedste udbytte er, lad os beregne, hvor meget hver vil give i slutningen af ​​en måned. Så lad os starte med at beregne besparelsesindkomsten.

I betragtning af problemdataene har vi:

c = BRL 500,00
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 måned
M =?

Udskiftning af disse værdier i sammensatte renteformel har vi:

M = C (1 + i)^t
M_opsparing = 500 (1 + 0,0056)¹
M_opsparing = 500.1,0056
M_opsparing = BRL 502,80

Som i denne type ansøgning er der ingen indkomstskatterabat, så dette vil være det indløste beløb.

Lad os nu beregne værdierne for CDB. For denne ansøgning er rentesatsen lig med 0,876% (0,00876). Vi har erstattet disse værdier:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = BRL 504,38

Dette beløb er ikke det beløb, som investoren modtager, da der i denne ansøgning er en rabat på 4%, vedrørende indkomstskat, som skal anvendes på de modtagne renter, som angivet bælge:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Vi skal beregne 4% af denne værdi, bare gør:

4,38.0,04 = 0,1752

Ved at anvende denne rabat på værdien finder vi:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternativ: d) CDB, da det i alt udgør et beløb på R $ 504,21.

3) UERJ - 2017

En kapital på C reais blev investeret med en sammensat rente på 10% om måneden og genererede på tre måneder et beløb på R $ 53.240. Beregn værdien, i reais, af startkapitalen C.

Se svar

Vi har følgende data i problemet:

M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 pr. måned
t = 3 måneder
C =?

Udskiftning af disse data i sammensatte renteformel har vi:

M = C (1 + i)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° C

4) Fuvest - 2018

Maria ønsker at købe et tv, der sælges for R $ 1.500,00 kontant eller i 3 månedlige rentefrie rater på R $ 500,00. De penge, som Maria afsatte til dette køb, er ikke nok til at betale kontant, men hun opdagede, at banken tilbyder en økonomisk investering, der tjener 1% om måneden. Efter at have foretaget beregningerne konkluderede Maria, at hvis hun betaler den første rate og, samme dag, anvender den resterende beløb, vil du være i stand til at betale de to resterende rater uden at skulle sætte eller tage en cent ikke engang. Hvor meget afsatte Maria til dette køb i reais?

a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20

Se svar

I dette problem er vi nødt til at foretage ækvivalensen af ​​værdier, det vil sige, vi kender den fremtidige værdi, der skal betales i hver rate, og vi ønsker at kende nutidsværdien (kapital, der vil blive anvendt).

I denne situation bruger vi følgende formel:

I betragtning af at ansøgningen skal give 500,00 BRL på tidspunktet for betaling af den anden rate, hvilket vil være 1 måned efter betaling af den første rate, har vi:

For at betale den tredje rate på $ 500,00 anvendes beløbet i 2 måneder, så det anvendte beløb svarer til:

Således er det beløb, som Maria afsatte til købet, lig med summen af ​​de anvendte beløb med beløbet for den første rate, det vil sige:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1,485,20

Alternativ: c) BRL 1.485,20

5) UNESP - 2005

Mário tog et lån på R $ 8.000,00 til 5% rente pr. Måned. To måneder senere betalte Mário R $ 5.000,00 af lånet, og en måned efter denne betaling betalte han al sin gæld. Værdien af ​​den sidste betaling var:

a) 3.015 BRL.
b) BRL 3.820,00.
c) BRL 4.011,00.
d) BRL 5.011,00.
e) BRL 5.250,00.

Se svar

Vi ved, at lånet blev betalt i to rater, og at vi har følgende data:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 om morgenen
V_F1 = 5000
V_F2 = x

I betragtning af dataene og sammenligning af hovedstæder har vi:

Alternativ: c) R $ 4.011,00.

6) PUC / RJ - 2000

En bank opkræver en rente på 11% om måneden på sin kassekredittjeneste. For hver 100 reais af overtræk opkræver banken 111 i den første måned, 123,21 i den anden osv. Ved et beløb på 100 reais vil banken ved udgangen af ​​et år opkræve ca.

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

Se svar

Ud fra oplysningerne i problemet identificerede vi, at korrektionen af ​​det beløb, som overtræk opkræves, er af sammensat rente.

Bemærk, at det opkrævede beløb for den anden måned blev beregnet i betragtning af det beløb, der allerede er korrigeret for den første måned, det vil sige:

J = 111. 0,11 = BRL 12,21

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Derfor, for at finde det beløb, som banken opkræver ved udgangen af ​​et år, skal vi anvende sammensatte renteformel, det vil sige:

M = C (1 + i)^t

Være:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 pr. måned
t = 1 år = 12 måneder
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100.3.498

Alternativ: e) 350 reais

For at lære mere om dette emne, læs også:

• Procent
• Hvordan beregnes procentdel?
• Procentlige øvelser
• Matematikformler
• Matematik i fjende