DET geometrisk gennemsnit sammen med det aritmetiske gennemsnit og det harmoniske gennemsnit blev udviklet af Pythagoras skole. På statistik det er ret almindeligt at søge efter repræsentation af et datasæt med en enkelt værdi til beslutningstagning. En af mulighederne for den centrale værdi er det geometriske gennemsnit.
Det er nyttigt at repræsentere et sæt, der har data, der opfører sig tæt på en geometrisk progression, også for at finde siden af firkant og terning, idet man kender henholdsvis areal og volumen. Det geometriske gennemsnit anvendes også i situationer med akkumulering af procentvis stigning eller fald. For at beregne det geometriske gennemsnit af et sæt n-værdier beregner vi den niende rod af elementernes produkt, dvs. hvis et sæt har tre udtryk, for eksempel multiplicerer vi de tre og beregner den kubiske rod af produktet.
Formel for geometrisk middelværdi
Det geometriske gennemsnit bruges til at finde en gennemsnits værdi mellem et sæt data. For at beregne det geometriske gennemsnit kræves et sæt med to eller flere elementer. Lad A være et datasæt A = (x1, x2, x3,... xingen), et sæt med n elementer, beregnes det geometriske gennemsnit af dette sæt af:
Læs også: Dispersionsmål: amplitude og afvigelse
Beregning af geometrisk gennemsnit
Lad A = {3,12,16,36}, hvad bliver det geometriske gennemsnit af dette sæt?
Løsning:
For at beregne det geometriske gennemsnit tæller vi først antallet af udtryk i sættet, i tilfældet n = 4. Så vi skal:
Metode 1: Udførelse af multiplikationerne.
Da vi ikke altid har en lommeregner til rådighed til at udføre multiplikationer, er det muligt at foretage beregningen ud fra faktoriseringen af a naturligt tal.
Metode 2: Faktorisering.
Brug af faktoriseringerne skal vi:
Anvendelser af geometrisk gennemsnit
Det geometriske gennemsnit kan anvendes på ethvert statistisk datasæt, men det er det typisk ansat i geometri, for at sammenligne sider af prismer og terninger med samme volumen eller firkanter og rektangler af samme område. Der er også anvendelse i økonomiske matematiske problemer der involverer en akkumuleret procentsats, dvs. procent under procent. Udover at være det mest bekvemme middel til data, der opfører sig som en geometrisk progression.
Eksempel 1: Anvendelse i procent.
Et produkt i tre måneder havde stigende fortløbende, det første var 20%, det andet 10% og det tredje 25%. Hvad var den gennemsnitlige stigning i procent i slutningen af denne periode?
Løsning
Produktet kostede oprindeligt 100%, i den første måned begyndte det at koste 120%, hvilket i sin decimalform er skrevet som 1,2. Denne begrundelse vil være den samme for de tre stigninger, så vi vil have det geometriske gennemsnit mellem: 1.2; 1,1; og 1,25.
Stigningen er i gennemsnit 18,2% pr. Måned.
Se også: Procentberegning med regel på tre
Eksempel 2: Anvendelse i geometri.
Hvad skal være værdien af x i billedet, vel vidende at firkanten og rektanglet derefter har det samme areal?
Løsning:
For at finde x-værdien af firkantens side beregner vi det geometriske gennemsnit mellem siderne af rektanglet.
Derfor er siden på pladsen 12 cm.
Eksempel 3: Geometrisk progression.
Hvad er vilkårene for P.G., vel vidende at forgængeren for den centrale værdi er x, den centrale værdi er 10 og efterfølgeren til den centrale værdi er 4x.
Løsning:
Vi kender vilkårene for P.G. (x, 10.4x) og vi ved, at det geometriske gennemsnit mellem efterfølgeren og forgængeren er lig med den centrale sigt for P.G., så vi er nødt til at:
Forskel mellem geometrisk gennemsnit og aritmetisk gennemsnit
I statistikker er den måde, dataene opfører sig på, meget vigtig for at vælge en enkelt værdi til at repræsentere dem. Derfor er der typer af centrale foranstaltninger, og der er typer medier.
Valget af hvilket gennemsnit, der skal bruges, skal tages under hensyntagen til det datasæt, vi arbejder på. Som det ses i eksemplet, anbefales det geometriske gennemsnit, hvis det er data, der opfører sig tæt på en geometrisk progression og har den mest eksponentielle vækst.
I andre situationer mest bruger vi aritmetisk gennemsnitf.eks. den enkeltes gennemsnitsvægt i løbet af året. Når man sammenligner beregningen af to typer gennemsnit for det samme datasæt, vil geometrien altid være mindre end aritmetikken.
Når vi sammenligner den aritmetiske middelformel med den geometriske middelformel, bemærker vi forskellen, som den førstnævnte beregnes med summen af delte vilkårDet efter mængden af vilkår, mens den anden, som vi har set, beregnes ved den nionde rod af produktet af alle termer.
Eksempel 4: I betragtning af sættet (3, 9, 27, 81, 243) skal du indse, at det er en P.G. af forholdet 3, da vi fra den første til den anden periode multiplicerer med tre, fra den anden til den tredje også osv. Når vi leder efter en central værdi til at repræsentere dette sæt, bør det ideelt set være den centrale term for progressionen, som sker, hvis vi beregner det geometriske gennemsnit. Men ved beregning af det aritmetiske gennemsnit gør større værdier værdien af dette gennemsnit for høj i forhold til sættets vilkår og jo større værdi, jo længere væk fra en gengivelse af det centrale udtryk vil det aritmetiske gennemsnit være.
Løsning:
1. aritmetisk gennemsnit
2. geometrisk gennemsnit
Også adgang: Mode, gennemsnit og mediana - centralitetsforanstaltninger
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Prisen på benzin i Brasilien har gennemgået store stigninger i de seneste måneder. De månedlige stigninger i de sidste 4 måneder var henholdsvis 9%, 15%, 25% og 16%. Hvad var den gennemsnitlige procentvise stigning i denne periode?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Løsning
Alternativ A
Spørgsmål 2 - Et prisme med en rektangulær base har samme volumen som en terning. Ved at vide, at prismeets dimensioner er 6 cm lange, 20 cm høje og 25 cm brede, hvad er værdien af siden af terningen i centimeter?
Løsning:
Alternativ D
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm