Vi oprettede en beskæftigelse når vi relaterer en eller flere mængder. En del af naturlige fænomener kan studeres takket være udviklingen inden for dette område af matematik. Studiet af funktioner er opdelt i to dele, vi har den generelle del, hvor vi studerer begrebergenerel, og den specifikke del, hvor vi studerer særlige tilfælde, såsom polynomiske funktioner og eksponentielle funktioner.
Se også: Hvordan tegner jeg en funktion?
Hvad er funktioner?
En funktion er et program, der vedrører elementerne i to sæt ikke tom. Overvej to ikke-tomme sæt A og B, hvor en funktion f forholde sig hver element fra A til kun en element af B.
For at forstå denne definition bedre, forestil dig en taxatur. For hver tur, det vil sige for hver tilbagelagt afstand, er der en anden og unik pris, det vil sige, det giver ingen mening, at en tur har to forskellige priser.
Vi kan repræsentere denne funktion, der tager elementer fra sæt A til sæt B på følgende måder.
Bemærk, at for hvert element i sæt A er der en enkelt relateret element
med ham i sæt B. Nu kan vi trods alt tænke, når et forhold mellem to sæt ikke vil være en funktion? Nå, når et element i sæt A er relateret til to forskellige elementer i B, eller når der er elementer i sæt A, der ikke er relateret til elementer i B. Se:
Generelt kan vi skrive en funktion algebraisk sådan:
f: A → B
x → y
Bemærk, at funktionen tager elementer fra sæt A (repræsenteret af x) og fører dem til elementer af B (repræsenteret af y). Vi kan også sige, at elementerne i sæt B er angivet i forhold til elementerne i sæt A, så vi kan repræsentere y ved:
y = f(x)
Det lyder: (y er lig med f af x)
Domæne, co-domæne og billede af en rolle
Når vi har en rolle f, sætene, der er relateret, får specielle navne. Så overvej en funktion f der tager elementer fra sæt A til elementer fra sæt B:
f: A → B
Sæt A, hvorfra forholdet afviger, kaldes domæne af funktionen, og det sæt, der modtager "pile" i dette forhold kaldes moddomæne. Vi betegner disse sæt som følger:
Df = A → Domæne for f
CDf = B → Moddomæne af f
Delsættet af kontradomænet for en funktion dannet af elementer, der vedrører elementer i sættet kaldes Billede af funktionen og betegnes med:
Jeg erf → Billede af f
- Eksempel
Overvej funktionen f: A → B repræsenteret i nedenstående diagram, og bestem domænet, moddomænet og billedet.
Som sagt er sættet A = {1, 2, 3, 4} funktionens domæne f, mens sættet B = {0, 2, 3, –1} er moddomænet for den samme funktion. Bemærk nu, at sættet dannet af elementer, der modtager pilen (i orange) dannet af elementerne {0, 2, –1} er en delmængde af kontradomænet B, dette sæt er billedet af funktionen f, dermed:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
Jeg erf = {0, 2, –1}
Vi siger, at 0 er elementbillede 1 af domænet såvel som 2 det er billedet af elementerne 2 og 3 af domænet, og –1 er elementbillede 4 af domænet. For at lære mere om disse tre begreber, læs: Ddomæne, co-domæne og billede.
Surjective funktion
En funktion f: A → B vil være surjectiv eller surjective, hvis og kun hvis billedsættet falder sammen med modsætningen, det vil sige hvis alle elementer i modsætningen er billeder.
Vi siger så, at en funktion er overvejende, når alle elementer i moddomænet modtager pile. Hvis du vil gå dybere ind i denne type funktion, skal du besøge vores tekst: Overjet-funktion.
Injektiv funktion
En funktion f: A → B vil være injektionsdygtig eller injektionsdygtig, hvis og kun hvis forskellige elementer i domænet har forskellige billeder i moddomænet, dvs. lignende billeder genereres af lignende elementer i domænet.
Bemærk, at betingelsen er, at forskellige elementer i domænet vedrører forskellige elementer i moddomænet, og der er ikke noget problem med resterende elementer i moddomænet. For bedre at forstå dette koncept kan du læse teksten: Injektorfunktion.
Bijector-funktion
En funktion f: A → B er bindende, hvis og kun hvis det er injektor og surjector samtidigt, det vil sige, at forskellige elementer i domænet har forskellige billeder, og billedet falder sammen med kontradomænet.
- Eksempel
I begge tilfælde skal du begrunde, om funktionen f (x) = x2 det er injektor, surjector eller bijector.
Det) f: ℝ+ → ℝ
Bemærk, at funktionens domæne er alle positive realer, og moddomænet er alle reelle tal. Vi ved, at funktionen f er givet ved f (x) = x2forestil dig nu, at alle positive reelle tal er høj i kvadrat, vil alle billeder også være positive. Så vi kan konkludere, at funktionen er injektion og ikke surjective, da negative reelle tal ikke modtager pile.
Det injiceres, da hvert element i domænet (ℝ+) vedrører kun ét element i moddomænet (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funktionen har i dette tilfælde domænet som alle realer og moddomænet som positive realer. Vi ved, at ethvert reelt tal i firkant er positivt, så alle elementer i moddomænet har modtaget pile, så funktionen er overvejende. Det indsprøjtes ikke, fordi domæneelementer vedrører to moddomæneelementer, for eksempel:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
I dette eksempel har funktionen domæne og moddomæne som de positive reelle tal, så funktionen er bijector, fordi hvert positive reelle tal vedrører en enkelt reelt tal positivt over moddomænet, i dette tilfælde antallet af tal. Derudover modtog alle moddomænetal pile.
sammensat funktion
DET sammensat funktion er forbundet med genvejsidé. Overvej tre ikke-tomme sæt A, B og C. Overvej også to funktioner f og g, hvor funktion f tager elementerne x fra sæt A til elementerne y = f (x) fra sæt B, og funktion g tager elementerne y = f (x) til elementerne z fra sæt C.
Den sammensatte funktion modtager dette navn, fordi det er en applikation, der tager elementer fra sæt A direkte til elementer fra sæt C uden at gå gennem sæt B gennem sammensætningen af funktionerne f og g. Se:
Funktionen betegnet med (f o g) tager elementerne fra sæt A direkte til sæt C. Det kaldes en sammensat funktion.
- Eksempel
Overvej funktionen f (x) = x2 og funktionen g (x) = x + 1. Find de sammensatte funktioner (f o g) (x) og (g o f) (x).
Funktionen f o g er givet af funktionen g anvendt på f, det vil sige:
(f o g) (x) = f (g (x))
For at bestemme denne sammensatte funktion skal vi overveje funktionen f, og i stedet for variablen x skal vi skrive funktionen g. Se:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Tilsvarende skal vi anvende funktionen for at bestemme den sammensatte funktion (g o f) (x) f i rollen g, dvs. overvej funktionen g og skriv funktionen f i stedet for variablen. Se:
(x + 1)
x2 + 1
Derfor er den sammensatte funktion (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Selv funktion
Overvej en funktion f: A → ℝ, hvor A er en delmængde af de ikke-tomme realer. En funktion f er endda kun for alle reelle x.
Eksempel
Overvej funktionen f: ℝ → ℝ, givet ved f (x) = x2.
Bemærk, at for enhver reel x-værdi, hvis den er kvadratisk, er resultatet altid positivt, det vil sige:
f (x) = x2
og
f (–x) = (–x)2 = x2
Så f (x) = f (–x) for enhver reel x-værdi, så funktionen f det er par.
Læs også:Effekt egenskabers - hvad er de og hvordan på brugluft?
unik funktion
Overvej en funktion f: A → ℝ, hvor A er en delmængde af de ikke-tomme realer. En funktion f er kun ulige for alle reelle x.
- Eksempel
Overvej funktionen f: ℝ → ℝ, givet ved f (x) = x3.
Se at for enhver værdi af x kan vi skrive det (–x)3 = -x3. Tjek nogle eksempler:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Så vi kan sige det:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Så for enhver reel x f (–x) = –f (x), og så er funktionen f (x) = x3 er unik.
stigende funktion
En funktion f é vokser med et interval, hvis og kun hvis deres domæneelementer vokser, vokser deres billeder også. Se:
Bemærk, at x1 > x2 og det samme sker med billedet, så vi kan etablere en algebraisk tilstand for funktionen f være vokser.
Faldende funktion
En funktion f é faldende med et interval, hvis og kun hvis deres domæneelementer vokser, når deres billeder falder. Se:
Se, at vi i funktionsdomænet har det x1 > x2dette forekommer dog ikke i funktionsbilledet, hvor f (x1)
konstant funktion
Som navnet siger, a funktion er konstant hvornår, for enhver værdi domæne, er billedets værdi altid den samme.
relateret funktion
DET affinefunktion eller polynom af første grad er skrevet i form:
f (x) = ax + b
Hvor a og b er reelle tal, er a ikke nul, og din graf er en linje. Funktionen har ægte domæne og også ægte moddomæne.
kvadratisk funktion
DET kvadratisk funktion eller polynomial funktion af anden grad er givet af -en polynom af klasse to, dermed:
f (x) = økse2 + bx + c
Hvor a, b og c er reelle tal med et ikke-nul, og din graf er a lignelse. Rollen har også rigtigt domæne og moddomæne.
modulær funktion
DET modulær funktion med variabel x finder-hvis inde i modulet og algebraisk udtrykkes det af:
f (x) = | x |
Funktionen har også et reelt domæne og moddomæne, det vil sige, vi kan beregne den absolutte værdi af ethvert reelt tal.
eksponentiel funktion
DET eksponentiel funktionviser variablen x i eksponenten. Det har også ægte domæne og ægte moddomæne og beskrives algebraisk af:
f (x) = ax
Hvor a er et reelt tal større end nul.
logaritmisk funktion
DET logaritmisk funktion har variabel i logaritme og domænet dannet af reelle tal større end nul.
Trigonometriske funktioner
På trigonometriske funktioner har variabel x, der involverer trigonometriske forhold, de vigtigste er:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
rodfunktion
Rødfunktionen er kendetegnet ved at have variabel inde i roden, med dette, hvis indekset for roden er jævnt, bliver domænet for funktionen kun de positive reelle tal.
af Robson Luiz
Matematiklærer
