Hvad er polygondiagonaler?

Du polygoner er geometriske figurer bidimånedlige dannet af lige segmenter. Blandt elementerne i polygoner er hjørner, sider og diagonaler. På diagonaler af en polygon er linjesegmenter, der forbinder to af dens ikke-fortløbende hjørner. Følgende billeder viser diagonalerne på nogle polygoner i sort:

Bemærk, at Antallet afdiagonaler stiger, når vi også øger antallet af sider af polygon. Trekanten har nul diagonaler, firkanten har to, femkanten har fem, og sekskanten har ni.

Find et forhold mellem nummer i diagonaler på en polygon og antallet af sider er ingen nem opgave, da det ikke ser ud til at eksistere. Imidlertid eksisterer dette forhold og afhænger af antallet af diagonaler, der afviger fra en enkelttoppunkt af polygonen.

Diagonaler startende fra et enkelt toppunkt

Se billedet nedenfor, hvor meget diagonaler startende fra toppunkt A i polygoner fremhævet:

Fra pladsen kommer en diagonal af toppunkt A. Fra femkanten, to og fra sekskanten, tre diagonaler. Det følgende billede viser diagonaler startende fra toppunkt A i en decagon.

instagram story viewer

Diagonaler, der starter fra det samme toppunkt i decagonen

Bemærk, at denne geometriske figur har ti sider, og fra hvert toppunkt er der syv diagonaler. Se nedenunder en tabel, der viser antallet af sider på figuren og antallet af diagonaler startende med a sammetoppunkt (d_v):

Bemærk, at antallet af diagonalerforlader på en sammetoppunkt er altid lig med antallet af sider af polygonen minus tre enheder. Således, hvis polygonens side er repræsenteret af bogstavet n, har vi:

d_v = n - 3

Samlet antal diagonaler i en polygon

O samlede antaldiagonaler (d) af polygonen kan opnås fra følgende udtryk:

d = n (n - 3)
2

Med andre ord antallet af diagonaler af en polygon er altid produktet af antallet af sider og antallet af diagonaler, der afgår fra det samme toppunkt divideret med to. Dette forhold gælder for alle konveks polygon, det vil sige, det har ingen fordybninger.

Eksempler

1. eksempel - Hvad er antallet af diagonaler af en polygon, der har 40 sider? Hvor mange diagonaler afvige fra hver toppunkt af denne polygon?

Opløsning: Det er ikke nødvendigt at tegne figuren for at besvare spørgsmål som disse. For at finde resultatet af det første spørgsmål skal du gøre:

d = n (n - 3)
2

d = 40(40 – 3)
2

d = 40(37)
2

d = 1480
2

d = 740

Fra det samme toppunkt:

d_v = n - 3

d_v = 40 – 3

d_v = 37

Så der er 740 diagonaler i alt og 37 diagonaler startende fra samme hjørne.

2ºEksempel - Hvad er antallet af sider af en polygon, der har 25 diagonaler startende fra hvert toppunkt?

Opløsning: