Summen af vilkårene for en PA

DET Aritmetisk progression (PANDE) det er en numerisk rækkefølge hvor forskellen mellem to på hinanden følgende termer altid er lig med den samme værdi, en konstant r.

For eksempel er (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) et AP med forholdet r = 2.

Denne type sekvens (PA) er meget almindelig, og vi vil måske ofte bestemme summen af alle termer i sekvensen. I eksemplet ovenfor er summen givet med 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Men når BP har mange vilkår, eller når ikke alle vilkår er kendt, bliver det sværere at opnå denne sum uden at bruge en formel. Så tjek formlen for summen af vilkårene for en PA.

Formel for summen af vilkårene for en PA

DET summen af vilkårene for aAritmetisk progression kan bestemmes ved kun at kende den første og sidste periode i sekvensen ved hjælp af følgende formel:

$\ dpi {120} \ small \ mathbf {S_n = \ frac {n. (a_1 + a_n)} {2}}$

På hvilke:

$\ dpi {120} \ mathbf {n}$ : antal PA-vilkår;
$\ dpi {120} \ mathbf {a_1}$ : er BP's første periode;
$\ dpi {120} \ mathbf {a_n}$ : er PA's sidste periode.

Demonstration:

Ved at demonstrere, at den præsenterede formel virkelig tillader beregning af summen af n-betingelserne for en AP, skal vi overveje en meget vigtig egenskab ved AP:

instagram story viewer

Egenskaber ved en PA: summen af to udtryk, der er i samme afstand fra centrum af en endelig PA, er altid den samme værdi, dvs. konstant.

For at forstå, hvordan dette fungerer i praksis, skal du overveje BP fra det oprindelige eksempel (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online matematik-spilkursus i tidlig barndomsundervisning
Gratis online pædagogisk kulturel workshops

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

Se nu, at 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, som er summen af vilkårene for denne PA. Desuden:

Nummeret 16 kan kun opnås gennem den første og sidste periode 1+ 15 = 16.
Nummeret 16 blev tilføjet 4 gange, hvilket svarer til halvdelen af antallet af udtryk i sekvensen (8/2 = 4).

Hvad der skete er ikke en tilfældighed og gælder for enhver PA.

I enhver PA vil summen af de ækvidistante udtryk altid være den samme værdi, som kan opnås ved hjælp af ( $\ dpi {120} \ small \ mathrm {a_1 + a_n}$ ) og som altid tilføjes hver anden værdi i en rækkefølge på $\ dpi {120} \ small \ mathrm {n}$ vilkår, der vil være ( $\ dpi {120} \ small \ mathrm {a_1 + a_n}$ ) ialt $\ dpi {120} \ small \ mathrm {\ frac {n} {2}}$ gange.