Løsning af lineære systemer

Du lineære systemer er systemer dannet af lineære ligninger der er relateret til hinanden. Derfor er løsningen til denne type system et sæt ukendte værdier, der tilfredsstiller alle ligninger i systemet.

Imidlertid har ikke alle lineære systemer en enkelt løsning, der er systemer med uendelige løsninger og systemer, der ikke tillader nogen løsning. forstå bedre om opløsning af lineære systemer!

Løsning af lineære systemer

I et system med n ukendte $\ dpi {120} (x_1, x_2, x_3,..., x_n)$ , løsningen, når den findes, er af $\ dpi {120} (a_1, a_2, a_3,..., a_n)$ , som er numeriske værdier, der gør alle ligninger i systemet sande, værende $\ dpi {120} x_1 = a_1, x_2 = a_2, x_3 = a_3,..., x_n = a_n$ .

I mange situationer, mere end et sæt $\ dpi {120} (a_1, a_2, a_3,..., a_n)$ det er en systemløsning, og i andre er der intet sæt, der er en løsning. I denne forstand kan lineære systemer klassificeres i tre typer:

muligt system bestemt (SPD): indrømmer en enkelt løsning;
Ubestemt muligt system (SPI): indrømmer uendelige løsninger;
umuligt system (SI): indrømmer ingen løsning.

Hvis ligningssystemet har det samme antal ligninger og ukendte, kan vi samle den tilknyttede koefficientmatrix, som vil være en firkantet matrixog beregne determinant af den matrix.

instagram story viewer

Hvis determinanten ikke er nul, er systemet SPD, men hvis determinanten er nul, kan systemet være SPI eller SI.

Eksempel 1: det lineære system $\ dpi {120} \ venstre \ {\ begynder {matrix} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \ end {matrix} \ højre.$ indrømmer en enkelt løsning.

$\ dpi {120} D = \ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \ end {vmatrix} = -2 -9 = -11 \ neq 0$

Brug en eller anden metode til at løse systemer med to ligninger, som en metode til tilføjelse eller udskiftning, kan vi finde løsningen $\ dpi {120} (x, y) = (2.1)$ .

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online førskole matematik spil kursus
Gratis online pædagogisk kulturel workshops

Bemærk, at disse værdier tilfredsstiller begge ligninger, når de erstattes af dem:

$\ dpi {120} 2x + 3y = 2. 2 + 3.1 =4 + 3 = 7$

$\ dpi {120} 3x - y = 3. 2 - 1 = 6 - 1 = 5$

Vi kan garantere, at der ikke er andre bestilte par. $\ dpi {120} (x, y)$ at gøre dette ud over dette fundne par, da løsningen er unik.

Eksempel 2: det lineære system $\ dpi {120} \ venstre \ {\ begynder {matrix} x + 3y = -2 \\ 2x + 6y = -4 \ end {matrix} \ højre.$ indrømmer ikke en eneste løsning.

$\ dpi {120} D = \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \ end {vmatrix} = 6-6 = 0$

Hvis vi prøver at bruge en af metoderne til at løse systemer med to ligninger, kommer vi ingen steder, vi får modsatte udtryk, der vil annullere i forhold til de to ukendte. Derfor er dette system SPI eller SI.

En af måderne at fortælle om dette system er SPI eller SI er gennem den grafiske analyse af lige der henviser til systemets ligninger. Hvis de to linjer falder sammen, er det SPI. Men hvis det er lige parallelbetyder, at der ikke er noget fælles punkt mellem dem, dvs. at systemet er SI.

I dette tilfælde kan det verificeres, at linjerne $\ dpi {120} x + 3y = -2$ og $\ dpi {120} 2x + 6y = -4$ er sammenfaldende, og systemet er så SPI, det har uendelige løsninger.