Komplekse nummerøvelser: Liste over løste spørgsmål og feedback

Du komplekse tal gøre det muligt at løse matematiske problemer, der ikke har løsninger i sæt af reelle tal.

I et komplekst tal skrevet som $\ dpi {120} z = a + bi$ , vi siger det $\ dpi {120} til$ er den rigtige del, $\ dpi {120} b$ er den imaginære del og $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ det er den imaginære enhed.

At optræde operationer med komplekse tal, der er nogle udtryk, der gør beregningerne lettere. Overveje $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ og $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Tilføjelsesudtryk mellem komplekse tal:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Ekspression af subtraktion mellem komplekse tal:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Ekspression af multiplikation mellem komplekse tal:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Udtryk for opdeling mellem komplekse tal:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - annonce)} {c ^ 2 + d ^ 2 }jeg$

Nedenfor er en liste over spørgsmål løst med øvelser på komplekse tal. Lær at bruge hvert af de begreber, der involverer disse tal!

Indeks

Liste over øvelser på komplekse tal
Løsning af spørgsmål 1
Løsning af spørgsmål 2
Løsning af spørgsmål 3
Løsning af spørgsmål 4
Løsning af spørgsmål 5
Løsning af spørgsmål 6
Løsning af spørgsmål 7
Løsning af spørgsmål 8

Liste over øvelser på komplekse tal

Spørgsmål 1. I betragtning af de komplekse tal $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ og $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ bestem værdien af $\ dpi {120} A$ , Hvornår $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Spørgsmål 2. Find værdierne for $\ dpi {120} x$ og $\ dpi {120} å$ sådan at $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Spørgsmål 3. I betragtning af de komplekse tal $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , bestem værdien af $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Hvornår $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ og $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Spørgsmål 4. Beregn værdien af $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ for hvad $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Hvornår $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Spørgsmål 5. Bestem værdien af $\ dpi {120} til$ for hvad $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ være et rent imaginært tal.

Spørgsmål 6. Beregn følgende imaginære enhedskræfter $\ dpi {120} i$ :

Det) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Spørgsmål 7. Find løsningen på ligningen $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ i sættet med komplekse tal.

Spørgsmål 8. Bestem ligningen af ligningen $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ i sættet med komplekse tal.

Løsning af spørgsmål 1

Vi har $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ og $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ og $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ og vi vil bestemme værdien af $\ dpi {120} A$ , Hvornår $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Lad os først beregne $\ dpi {120} 4z_3$ og $\ dpi {120} 3z_1$ , separat:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Lad os nu beregne $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Løsning af spørgsmål 2

Vi vil finde x og y, så det $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Ved udtryk for summen mellem to komplekse tal skal vi:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Så vi må have $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ og $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Lad os løse disse to ligninger for at finde x og y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Løsning af spørgsmål 3

Vi har $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ og vi vil bestemme værdien af $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Hvornår $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ og $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Først beregner vi $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Ved udtryk for multiplikationen mellem to komplekse tal skal vi:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Lad os nu beregne $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 - cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Derfor, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Løsning af spørgsmål 4

Vi ønsker at beregne værdien af $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ for hvad $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Hvornår $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Det betyder at finde $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ så det:

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online matematik-spilkursus i tidlig barndomsundervisning
Gratis online pædagogisk kulturel workshop kursus

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Ved udtryk for opdelingen mellem to komplekse tal skal vi:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Når vi sammenføjer de to betingelser, skal vi have:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Dvs.

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Lad os løse hver af disse ligninger startende med det andet, der kun afhænger af p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Nu finder vi q ved den anden ligning:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Løsning af spørgsmål 5

Vi ønsker at finde værdien af $\ dpi {120} til$ for hvad $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ være et rent imaginært tal.

Et rent imaginært tal er et, hvis reelle del er lig med nul.

I betragtning af udtrykket for opdelingen mellem to komplekse tal har vi det:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

For at dette nummer skal være rent imaginært, skal vi have:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Løsning af spørgsmål 6

Ved at definere kræfter og komplekse tal skal vi:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Overhold et mønster, der gentager sig hver fjerde på hinanden følgende kræfter: 1, i, -1 og -i.

For at finde resultatet ved en hvilken som helst kraft i skal du blot dele eksponenten med 4. Den resterende del af divisionen er 0, 1, 2 eller 3, og denne værdi er den eksponent, vi skal bruge.

Det) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 og resten er 0.

Derefter, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .