Hvad er cosinus lov?

DET cosinus lov er trigonometrisk relation bruges til at relatere sider og vinkler på en trekant enhver, det vil sige den trekant, som ikke nødvendigvis har en ret vinkel. Bemærk følgende trekant ABC med de fremhævede mål:

DET lovFracosinus kan gives af et af følgende udtryk:

Det² = b² + c² - 2 · b · c · cosa

B² = den² + c² - 2 · a · c · cosβ

ç² = b² + den² - 2 · b · a · cosθ

Observation: Det er ikke nødvendigt at huske disse tre formler udenad. Bare ved, at lovFracosinus kan altid bygges. Bemærk i det første udtryk, at α er vinklen modsat den side, hvis mål er givet af Det. Vi starter formlen med firkanten på den modsatte side af den vinkel, der skal bruges i beregningerne. Det vil være lig med summen af ​​kvadraterne på de to andre sider minus to gange produktet af de to sider, der ikke er modsat denne vinkel af cosinus af α.

På denne måde kan de tre ovenstående formler reduceres til:

Det² = b² + c² - 2 · b · c · cosa

Så længe vi ved, at “Det" er målingen på den modsatte side af "α", og at "b" og "c" er målingerne på de to andre sider af trekant.

Demonstration

På grund af trekant Enhver ABC, med de foranstaltninger, der er fremhævet i følgende figur:

Overvej trekanterne ABD og BCD dannet af højden BD af trekanten ABC. Bruger Pythagoras sætning i ABD vil vi have:

ç² = x² + h²

H² = c² - x²

Brug af samme sætning til trekant BCD, vi får:

Det² = y² + h²

H² = den² - y²

At vide, at der er² = c² - x², vi vil have:

ç² - x² = den² - y²

ç² - x² + y² = den²

Det² = c² - x² + y²

Bemærk på billedet af trekant hvor b = x + y, hvor y = b - x. Ved at erstatte denne værdi i det opnåede resultat, har vi:

Det² = c² - x² + y²

Det² = c² - x² + (b - x)²

Det² = c² - x² + b² - 2bx + x²

Det² = c² + b² - 2bx

Ser du stadig på figuren, bemærk at:

cosα = x
ç

c · cosα = x

x = c · cosα

Ved at erstatte dette resultat i det forrige udtryk har vi:

Det² = c² + b² - 2bx

Det² = c² + b² - 2b · c · cosα

Dette er nøjagtigt det første af de tre udtryk, der er præsenteret ovenfor. De to andre kan opnås analogt med denne.

Eksempel - Ved trekant derefter beregne mål for x.

Opløsning:

Bruger lovFracosinus, bemærk, at x er målingen af ​​siden modsat 60 ° vinklen. Derfor bør det første "nummer", der vises i løsningen, være det:

x² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · cos60 °

x² = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °

x² = 200 - 200 · cos60 °

x² = 200 – 200·1
2

x² = 200 – 100

x² = 100

x = ± √100

x = ± 10

Da der ikke er nogen negative længder, skal resultatet kun være den positive værdi, dvs. x = 10 cm.

af Luiz Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm