Hvad er komplekse tal?

Indtil midten af ​​det 16. århundrede ligninger som x² - 6x + 10 = 0 blev simpelthen betragtet som "ingen løsning". Dette skyldtes, at i henhold til Bhaskara's formel, når resultatet af denne ligning blev fundet:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problemet blev fundet i √– 4, som ikke har nogen løsning inden for sættet med reelle tal, dvs. nej der er et reelt tal, der ganget med sig selv giver √– 4, da 2 · 2 = 4 og (–2) (- 2) = 4.

I 1572 havde Rafael Bombelli travlt med at løse ligningen x³ - 15x - 4 = 0 ved hjælp af Cardanos formel. Gennem denne formel konkluderes det, at denne ligning ikke har reelle rødder, da det ender med at være nødvendigt at beregne √– 121. Men efter et par forsøg er det muligt at finde, at 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 og derfor at x = 4 er en rod i denne ligning.

I betragtning af eksistensen af ​​virkelige rødder, der ikke udtrykkes af Cardanos formel, havde Bombelli ideen om at antage at √– 121 ville resultere i √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1, og dette kunne være en “uvirkelig” rod for ligningen studeret. Således ville √– 121 være en del af en ny type tal, der udgør de andre ubegrundede rødder i denne ligning. Så ligningen x

³ - 15x - 4 = 0, som har tre rødder, ville have x = 4 som den virkelige rod og to andre rødder, der hører til denne nye type nummer.

I slutningen af ​​det 18. århundrede navngav Gauss disse numre som komplekse tal. På det tidspunkt havde komplekse tal allerede form a + bi, med i = √– 1. Desuden, Det og B de blev allerede betragtet som punkter i et kartesisk fly, kendt som Argand-Gauss-flyet. Således havde det komplekse tal Z = a + bi som sin geometriske repræsentation et punkt P (a, b) i det kartesiske plan.

Derfor udtrykket “komplekse tal”Begyndte at blive brugt med henvisning til det numeriske sæt, hvis repræsentanter er: Z = a + bi, med i = √– 1 og med Det og B tilhører sættet med reelle tal. Denne repræsentation kaldes algebraisk form af kompleks nummer Z.

Da komplekse tal dannes af to reelle tal, og et af dem ganges med √– 1, disse reelle tal har fået et specielt navn. I betragtning af det komplekse tal Z = a + bi er a den "reelle del af Z" og b er den "imaginære del af Z". Matematisk kan vi skrive henholdsvis: Re (Z) = a og Im (Z) = b.

Idéen om modul af et komplekst tal krystalliseres analogt til ideen om modul af et reelt tal. Når man betragter punktet P (a, b) som en geometrisk repræsentation af det komplekse tal Z = a + bi, er afstanden mellem punktet P og punktet (0,0) givet ved:

| Z | = √(Det² + b²)

En anden måde at repræsentere komplekse tal er på Polær eller trigonometrisk form. Denne formular bruger modulet af et komplekst tal i dets sammensætning. Det komplekse tal Z, algebraisk Z = a + bi, kan repræsenteres med den polære form ved:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Det er interessant at bemærke, at det kartesiske plan er defineret af to ortogonale linjer, kendt som x- og y-akserne. Vi ved, at reelle tal kan repræsenteres af en linje, hvor alle rationelle tal er placeret. De resterende mellemrum er udfyldt med de irrationelle tal. Mens de reelle tal alle er på linjen kendt som X-akse fra det kartesiske plan ville alle andre punkter, der tilhører dette plan, være forskellen mellem komplekse tal og reelle tal. Således er sættet med reelle tal indeholdt i sættet med komplekse tal.

Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm