En af de teknikker, der bruges til at løse kvadratiske ligninger er metoden kendt som komplette firkanter. Denne metode består i at fortolke ligning af sekundgrad som en perfekt firkantet trinomial og skriv din fakturerede form. Nogle gange afslører denne enkle procedure allerede rødderne i ligningen.
Derfor er det nødvendigt at have grundlæggende viden om bemærkelsesværdige produkter, trinomialfirkantPerfekt og polynomfaktorisering at bruge denne teknik. Ofte tillader det imidlertid, at beregninger udføres "i hovedet".
Derfor vil vi huske de tre tilfælde af Produkterbemærkelsesværdig inden du demonstrerer metodeat færdiggørefirkanter, som igen vil blive eksponeret i tre forskellige tilfælde.
Fremragende produkter og perfekte firkantede trinomier
Se derefter det bemærkelsesværdige produkt, trinomialfirkantPerfekt hvilket svarer til det og formen fabrikeret af henholdsvis dette trinomial. For at gøre dette skal du overveje, at x er ukendt, og Det er ethvert reelt tal.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Ligningen af anden grad, der henviser til den tredje produktbemærkelsesværdig, kendt som summen og forskellen, kan løses ved hjælp af en teknik, der gør beregningerne endnu lettere. Som et resultat vil det ikke blive taget i betragtning her.
Ligningen er det perfekte firkantede trinomium
Hvis en ligning af sekundgrad er et perfekt kvadratisk trinomium, så kan du identificere dets koefficienter som: a = 1, b = 2k eller - 2k og c = k2. For at kontrollere dette skal du bare sammenligne en kvadratisk ligning med en trinomialfirkantPerfekt.
Derfor i løsningen af ligning af sekundgrad x2 + 2kx + k2 = 0, vi har altid mulighed for at gøre:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Således er løsningen unik og lig med –k.
Hvis ligning være x2 - 2kx + k2 = 0, vi kan gøre det samme:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Derfor er løsningen unik og lig med k.
Eksempel: Hvad er rødderne til ligning x2 + 16x + 64 = 0?
Bemærk, at ligningen er a trinomialfirkantPerfekt, da 2k = 16, hvor k = 8 og k2 = 64, hvor k = 8. Så vi kan skrive:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Her er resultatet blevet forenklet, da vi allerede ved, at de to løsninger vil være lig med det samme reelle tal.
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen;)
Ligningen er ikke et perfekt kvadratisk trinomium
I tilfælde hvor ligning af sekundgrad ikke er et perfekt kvadratisk trinomium, kan vi overveje følgende hypotese for at beregne dens resultater:
x2 + 2kx + C = 0
Bemærk, at denne ligning bliver til a trinomialfirkantPerfekt, erstat bare værdien af C med værdien af k2. Da dette er en ligning, er den eneste måde at gøre dette på at tilføje k2 på begge medlemmer og derefter bytte medlemskoefficient C. Holde øje:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Efter denne procedure kan vi fortsætte med den tidligere teknik, transformere trinomialfirkantPerfekt ind i bemærkelsesværdigt produkt og beregning af kvadratrødderne på begge lemmer.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± tegnet vises, når resultatet af a ligning er en kvadratrod, fordi i disse tilfælde er kvadratrodens resultat a modul, som vist i det første eksempel. Endelig er alt der er tilbage at gøre:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Så disse ligninger har to resultater ægte og tydeligt, eller intet reelt resultat, når C> k2.
For eksempel, beregne rødderne til x2 + 6x + 8 = 0.
Opløsning: Bemærk at 6 = 2 · 3x. Derfor er k = 3 og derfor k2 = 9. Derfor er antallet, som vi skal tilføje i begge medlemmer, lig med 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1-3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
I hvilket tilfælde koefficienten a ≠ 1
når koefficienten Det, giver ligning af sekundgrad, er forskellig fra 1, del bare hele ligningen med den numeriske værdi af koefficienten Det for derefter at anvende en af de to foregående metoder.
Så i 2x ligningen2 + 32x + 128 = 0, vi har den unikke rod lig med 8, fordi:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Og i 3x ligningen2 + 18x + 24 = 0, vi har rødderne - 2 og - 4, fordi:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik
