Oprindelsen til jeg kvadreret lig -1

I studiet af komplekse tal støder vi på følgende ligestilling: i² = – 1.
Begrundelsen for denne lighed er normalt forbundet med at løse 2. grads ligninger med negative kvadratrødder, hvilket er en fejl. Oprindelsen til udtrykket i² = - 1 vises i definitionen af ​​komplekse tal, et andet emne, der også rejser stor tvivl. Lad os forstå årsagen til sådan lighed og hvordan den opstår.
Lad os først lave nogle definitioner.
1. Et ordnet par af reelle tal (x, y) kaldes et komplekst tal.
2. Komplekse tal (x₁y₁) og (x₂y₂) er lige, hvis og kun hvis x₁ = x₂ og y₁ = y₂.
3. Tilføjelse og multiplikation af komplekse tal defineres ved:
(x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + y₂)
(x₁y₁)*(x₂y₂) = (x₁*x₂ - y₁* y₂, x₁* y₂ + y₁*x₂)
Eksempel 1. Overvej z₁ = (3, 4) og z₂ = (2, 5), beregne z₁ + z₂ og z₁* z₂.
Opløsning:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Ved at bruge den tredje definition er det let at vise, at:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x

₁*x₂, 0)
Disse ligheder viser, at komplekse tal (x, y) opfører sig som reelle tal med hensyn til additions- og multiplikationsoperationer. I denne sammenhæng kan vi etablere følgende forhold: (x, 0) = x.
Ved at bruge dette forhold og symbolet i til at repræsentere det komplekse tal (0, 1) kan vi skrive ethvert komplekst tal (x, y) som følger:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → hvilket er det normale formkald for et komplekst nummer.
Således bliver det komplekse tal (3, 4) i normal form 3 + 4i.
Eksempel 2. Skriv følgende komplekse tal i normal form.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Bemærk nu, at vi kalder i det komplekse nummer (0, 1). Lad os se, hvad der sker, når vi laver i2.
Vi ved, at jeg = (0, 1) og at jeg² = i * i. Følg det:
jeg² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Ved hjælp af definition 3 vil vi have:
jeg² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Som vi så tidligere, var hvert komplekst tal i formen (x, 0) = x. Dermed,
jeg² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Vi ankom den berømte ligestilling i² = – 1.

Af Marcelo Rigonatto
Specialist i statistik og matematisk modellering
Brazil School Team

Komplekse tal - Matematik - Brasilien skole

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm