Trekantet matrix: typer, determinant, øvelser

En matrix er trekantet når elementer over hoveddiagonalen eller elementer under hoveddiagonalen alle er nul. Der er to mulige klassifikationer for denne type matrix: den første er, når elementerne over hoveddiagonalen er nul, hvilket opretter en lavere trekantet matrix; det andet er, når elementerne under hoveddiagonalen er nul, og der oprettes en øvre trekantet matrix.

For at beregne determinanten for en trekantet matrix ved hjælp af Sarrus 'regel skal du blot udføre den vigtigste diagonale multiplikation, da de andre multiplikationer alle vil være lig med nul.

Læs også: Array - hvad det er og eksisterende typer

Den trekantede matrix er et specielt tilfælde af matrix.

Trekantede matrixtyper

For at forstå, hvad en trekantet matrix er, er det vigtigt at huske, hvad hoveddiagonalen for en firkantet matrix er, hvilket er den matrix, der har det samme antal rækker og kolonner. Matrixens hoveddiagonal er udtrykkene a._ij, hvor i = j, det vil sige, de er de vilkår, hvor række nummeret er lig med kolonnetallet.

Eksempel:

Udtrykkene på hoveddiagonalen er fremhævet med rødt.

Forstå hvad en firkantet matrix er, og hvad dens hoveddiagonal er, lad os vide, hvad en trekantet matrix er og dens klassifikationer. Der er to mulige klassifikationer for den trekantede matrix: Detnedre trekantede matrix og øvre trekantede matrix.

• Nedre trekantet matrix: opstår, når alle termer over hoveddiagonalen er lig med nul, og vilkårene under hoveddiagonalen er reelle tal.

Numerisk eksempel:

• Øvre trekantet matrix: opstår, når alle termer under hoveddiagonalen er lig med nul, og termerne over hoveddiagonalen er reelle tal.

Numerisk eksempel:

diagonal matrix

Den diagonale matrix er en særligt tilfælde af trekantet matrix. I det er de eneste udtryk, der ikke er nul, dem, der er indeholdt i hoveddiagonalen. Udtrykkene over eller under hoveddiagonalen er alle lig med nul.

Numeriske eksempler på diagonal matrix:

Bestemmelse af en trekantet matrix

Givet en trekantet matrix ved beregning af determinanten for denne matrix med Sarrus 'styre, kan du se, at alle multiplikationer er lig med nul, undtagen multiplikation af udtrykket for hoveddiagonalen.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ + den₁₂ · A₂₃ · 0 + den₁₃ · 0 · 0 - ( Det₁₃ ·Det₂₃ ·0 + den₁₁ · A₂₃ · 0 + den₁₂ · 0· A₃₃)

Bemærk, at i alle termer undtagen det første er nul en af ​​faktorerne og alt multiplikation ved nul er lig med nul, så:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Bemærk, at dette er produktet mellem vilkårene i hoveddiagonalen.

Uanset antallet af rækker og kolonner, en trekantet matrix har, dens determinant vil altid være lig med produktet af vilkårene i hoveddiagonalen.

Se også: Determinant - funktion anvendt på firkantede matricer

Trekantede matrixegenskaber

Den trekantede matrix har nogle specifikke egenskaber.

• 1. ejendom: determinanten for en trekantet matrix er lig med produktet af vilkårene for hoveddiagonalen.
• 2. ejendom: produktet mellem to trekantede matricer er en trekantet matrix.
• 3. ejendom: hvis et af udtrykkene i hoveddiagonalen for den trekantede matrix er lig med nul, vil dens determinant være lig med nul, og følgelig vil den ikke være inverterbar.
• 4. ejendom: den inverse matrix af en trekantet matrix er også en trekantet matrix.
• 5. ejendom: summen af ​​to øvre trekantede matricer er en øvre trekantet matrix; på samme måde er summen af ​​to nedre trekantede matricer en lavere trekantet matrix.

løste øvelser

1) Givet matricen A er værdien af ​​determinanten for A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Løsning

Alternativ d.

Denne matrix er lavere trekantet, så dens determinant er multiplikation af termer på hoveddiagonalen.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Bedøm følgende udsagn.

I → Hver kvadratmatrix er trekantet.

II → Summen af ​​en øvre trekantet matrix med en nedre trekantet matrix er altid en trekantet matrix.

III → Hver diagonal identitetsmatrix er en trekantet matrix.

Den rigtige rækkefølge er:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Løsning

Alternativ d.

I → Falsk, fordi hver trekantet matrix er firkantet, men ikke hver kvadratisk matrix er trekantet.

II → Falsk, da summen mellem en øvre og nedre trekantede matrix ikke altid resulterer i en trekantet matrix.

III → Sandt, da de forskellige udtryk fra diagonalen er lig med nul.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm