Vi ved hvordan gentag arrangement eller komplet arrangement, alle de bestilte omgrupper, som vi kan danne med k elementer i et sæt med ingen elementer med et element af ingen vises muligvis mere end én gang. DET kombinatorisk analyse det er matematikområdet, der udvikler tælleteknikker til at finde antallet af mulige klynger i bestemte situationer.
Blandt disse grupperinger er der arrangementet med gentagelse, fx til stede i oprettelse af adgangskoder, nummerplader, mellem andre. For at løse disse situationer anvender vi arrangementformlen med gentagelse som tælleteknik. Der er forskellige formler til beregning af det gentagne arrangement og det ikke-gentagne arrangement, så det er vigtigt at vide, hvordan man differentierer hver af disse situationer for at anvende den korrekte optællingsteknik.
Læs også: Grundlæggende tælleprincip - hovedbegrebet kombinatorisk analyse
Hvad er arrangement med gentagelse?
![Der er et arrangement med gentagelse i produktionen af køretøjsplader. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
I vores daglige liv støder vi på situationer, der involverer sekvenser og grupperinger, der vises i vælg adgangskoder fra sociale netværk eller bank og også i telefonnumre eller situationer, der involverer køer. Under alle omstændigheder er vi omgivet af situationer, der involverer disse grupperinger.
F.eks. Er der på nummerplader, der består af tre bogstaver og fire tal unik streng efter tilstand, der identificerer hver af bilerne, i dette tilfælde arbejder vi med arrangementer. Når det er muligt at gentage elementerne, arbejder vi med det komplette arrangement eller arrangement med gentagelse.
Fik et sæt med ingen elementer, vi kender som arrangement med gentagelse alle de grupperinger, som vi kan danne med k elementer i dette sæt, hvor et element kan gentages mere end én gang. På køretøjsskilt er det for eksempel antallet af mulige nummerplader, som vi kan danne under hensyntagen til at de har tre bogstaver og fire tal, og at bogstaverne og tallene kan gentages.
For at beregne antallet af mulige gentagne arrangementer bruger vi en meget enkel formel.
Arrangementsformel med gentagelse
For at finde det fulde arrangement beløb på ingen forskellige elementer taget fra k i
åh, i en given situation, der tillader gentagelse af et element, bruger vi følgende formel:
LUFTingen,k = ingenk
AR → arrangement med gentagelse
ingen → antal elementer i sættet
k → antal elementer, der vælges
Se også: Enkel kombination - tæl alle undersæt af et givet sæt
Sådan beregnes det gentagne arrangement nummer
Se eksemplet nedenfor for bedre at forstå, hvordan du anvender gentagelsesformlen.
Eksempel 1:
En bankadgangskode har fem cifre, der udelukkende består af tal, hvad er antallet af mulige adgangskoder?
Vi ved, at adgangskoden er en femcifret streng, og at der ikke er nogen begrænsning for gentagelser, så vi anvender arrangementformlen med gentagelse. Brugeren skal vælge blandt 10 cifre, som vil komponere hver af de fem cifre i denne adgangskode, det vil sige, vi vil beregne arrangementet med gentagelse af 10 elementer taget hver femte.
LUFT10,5 = 105 = 10.000
Så der er 10.000 adgangskodemuligheder.
Eksempel 2:
At vide, at køretøjets nummerplader består af tre bogstaver og fire tal, hvor mange nummerplader kan du danne?
Vores alfabet består af 26 bogstaver, og der er 10 mulige tal, så lad os opdele i to komplette arrays og finde antallet af mulige arrays for bogstaverne og tallene.
LUFT26,3 = 26³ = 17.576
LUFT10,4 = 104 = 10.000
Således er det samlede antal mulige arrangementer:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Forskel mellem simpelt arrangement og gentaget arrangement
At differentiere det enkle arrangement fra arrangementet med gentagelse er afgørende for at løse problemer om emnet. Det vigtige for differentiering er at indse, at når vi har at gøre med en situation, hvor der er omgrupper, hvis rækkefølge er vigtig, handler det om af et arrangement, og hvis disse omgrupperinger tillader gentagelse mellem termer, er det et arrangement med gentagelse, også kendt som arrangement komplet. Når omgrupperingen ikke tillader gentagelse, det handler om et simpelt arrangement.
Formlen for det enkle arrangement er forskellig fra den, vi bruger til gentaget arrangement.
Vi har set eksempler på gentagelse af arrangement tidligere, se nu et eksempel på simpelt arrangement
Eksempel:
Paulo vil lægge tre af sine 10 skolebøger på hylden, som alle er forskellige fra hinanden. Hvor mange måder kan han organisere disse bøger på?
Bemærk, at i dette tilfælde er rækkefølgen vigtig, men der er ingen gentagelser, da det er et simpelt arrangement. For at finde antallet af mulige grupperinger skal vi:
For at lære mere om denne anden form for gruppering, der bruges i kombinatorisk analyse, skal du læse teksten: DETsimpelt arrangement.
Øvelser løst:
Spørgsmål 1 - (Enem) En bank bad sine kunder om at oprette en personlig sekscifret adgangskode, der kun består af numre fra 0 til 9, for at få adgang til checkkontoen via internettet. Imidlertid anbefalede en specialist i elektroniske sikkerhedssystemer, at bankens ledelse omregistrerer sine brugere og beder om hver af dem, oprettelsen af en ny adgangskode med seks cifre, der nu tillader brug af de 26 bogstaver i alfabetet, udover cifrene fra 0 til 9. I dette nye system blev hvert stort bogstav betragtet som adskilt fra dets små bogstaver. Desuden var brugen af andre typer tegn forbudt.
En måde at evaluere en ændring i adgangskodesystemet er at kontrollere forbedringskoefficienten, hvilket er årsagen til det nye antal adgangskodemuligheder i forhold til det gamle. Forbedringskoefficienten for den anbefalede ændring er:
Løsning
Alternativ A
Den gamle adgangskode er en matrix med gentagelse, da den kan bestå af alle tal, så det er en matrix med 10 elementer taget hver sjette.
LUFT10,6 = 106
Den nye adgangskode kan bestå af 10 cifre og også store bogstaver (26 bogstaver) og små bogstaver (26 bogstaver), så adgangskoden for hvert ciffer har i alt 10 + 26 + 26 = 62 muligheder. Da der er seks cifre, beregner vi arrangementet med gentagelse af 62 elementer taget hver sjette.
LUFT62,6 = 626
DET grund af det nye antal adgangskodemuligheder sammenlignet med den gamle er lig med 626/106.
Spørgsmål 2 - (Enem 2017) En virksomhed vil bygge sin hjemmeside og håber at tiltrække et publikum på ca. en million kunder. For at få adgang til denne side skal du have en adgangskode med et format, der skal defineres af virksomheden. Der er fem formatindstillinger, der tilbydes af programmøren, beskrevet i tabellen, hvor “L” og “D” repræsenterer henholdsvis stort og ciffer.
Alfabetets bogstaver, blandt de 26 mulige, såvel som cifrene blandt de 10 mulige, kan gentages i en hvilken som helst af mulighederne.
Virksomheden ønsker at vælge et format, hvis antal mulige forskellige adgangskoder er større end forventet antal kunder, men at dette antal ikke overstiger det dobbelte af det forventede antal kunder.
Løsning
Alternativ E
Ved at beregne hver af mulighederne ønsker vi at finde adgangskoden, der har mere end en million muligheder og mindre end to millioner muligheder.
I → LDDDDD
26 ·105 er større end to millioner, så det opfylder ikke virksomhedens anmodning.
II → DDDDDD
106 er lig med en million, så det opfylder ikke virksomhedens anmodning.
III → LLDDDD
26² · 104 er større end to millioner, så det opfylder ikke virksomhedens anmodning.
IV → DDDDD
105 det er mindre end en million, så det opfylder ikke virksomhedens anmodning.
V → LLLDD
26³ · 10² er mellem en million og to millioner, så denne adgangskodeskabelon er ideel.
Billedkredit
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm