Sinus, kosinus a tečna jsou jména trigonometrické poměry. Většina problémů s výpočty vzdálenosti je řešena pomocí trigonometrie. A proto je velmi důležité pochopit jeho základy, počínaje pravoúhlý trojuhelník.
Trigonometrické poměry jsou také velmi důležité, protože se vztahují k měřením na obou stranách trojúhelník s jedním z ostrých úhlů, spojující tento vztah s a reálné číslo.
Vidět víc: Identifikace kvadrantů trigonometrického cyklu
Funkce pravého trojúhelníku
Pravý trojúhelník je tvořen a úhel 90 ° (rovný úhel). Ostatní úhly jsou menší než 90 °, to znamená, že jsou ostré a navíc víme, že největší strany jsou vždy proti největším úhlům. V pravém trojúhelníku se největší strana nazývá přepona a je „před“ pravým úhlem, jsou volány ostatní strany peccaries.
V trojúhelníku výše máme, že strany, které měří c a b, jsou nohy, a strana, která měří a, je přepona. V každém pravoúhlém trojúhelníku vztah znal jako Pythagorova věta je platná.
The2 = b2 + c2
Límeček zvláštní, od nynějška, bude také mít zvláštní jména. Názvosloví nohou bude záviset na referenčním úhlu. Když vezmeme v úvahu modrý úhel na obrázku výše, máme tu stranu, která měří b, je opačná noha, a strana, která je vedle úhlu, to znamená, že opatření c je sousední noha.
Sinus
Než definujeme vzorec pro sinus úhlu, pochopme myšlenku sinu. Představte si rampu, na které můžeme určit důvod mezi výškou a kurzem, že? Tento poměr se nazývá sinus úhlu α.
Tím pádem,
hřích α = výška
trasa
kosinus
Analogicky k myšlence sinu máme smysl pro kosinus, nicméně v rampě je kosinus poměr mezi vzdáleností od země a cestou podél rampy.
Tím pádem:
cos α = odstranění
trasa
Tečna
Podobně jako u sinu a kosinu je tangenta poměr mezi výškou a vzdáleností rampy.
Tím pádem:
tg α = výška
odstranění
Tangenta nám dává rychlost stoupání.
Přečtěte si také: Trigonometrie v libovolném trojúhelníku
Vztah mezi sinusem, kosinusem a tangensou
Obecně pak můžeme pomocí předchozích myšlenek definovat sinus, kosinus a tangens v libovolném pravém trojúhelníku. Viz. níže:
Nejprve si vezmete úhel α jako reference máme:
hřích α = opačná strana = C
přepona do
cos α = sousední katet = B
přepona do
tg α = opačná strana = C
Sousedící catet b
Nyní vezmeme úhel β jako referenci a máme:
hřích β = opačná strana = B
přepona do
cos β = sousední katet = C
přepona do
tg β = opačná strana = B
sousední katétr c
Trigonometrické tabulky
Existují tři hodnoty úhlu, které musíme znát. Jsou oni:
Ostatní hodnoty jsou uvedeny ve výkazech cvičení nebo je lze zkontrolovat v následující tabulce, ale nebojte se, není nutné mít je zapamatovány (kromě těch v předchozí tabulce).
Úhel (°) |
sinus |
kosinus |
tečna |
Úhel (°) |
sinus |
kosinus |
tečna |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Také vědět: Sekans, kosekans a kotangens
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Určete hodnotu xay v následujícím trojúhelníku.
Řešení:
Podívejte se na trojúhelníku, že daný úhel byl 30 °. Stále se díváme na trojúhelník a máme tu stranu, která měří X to je opačná noha pod úhlem 30 ° a stranou, která měří y to je sousední noha pod úhlem 30 °. Musíme tedy hledat trigonometrický poměr, který souvisí s tím, co hledáme, s tím, co je dáno (přepona). Již brzy:
hřích 30 ° = opačná strana
Přepona
cos 30 ° = sousední katet
Přepona
Určená hodnota x:
hřích 30 ° = opačná strana
Přepona
hřích 30 ° = X
2
Při pohledu na stůl musíme:
hřích 30 ° = 1
2
Když to dosadíme do rovnice, budeme mít:
1 = X
2 2
x = 1
Podobně budeme uvažovat
Tím pádem:
Protože 30 ° = √3
2
cos 30 ° = sousední katet
Přepona
cos 30 ° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
otázka 2 - (PUC-SP) Jaká je hodnota x na následujícím obrázku?
Řešení:
Při pohledu na větší trojúhelník si všimněte, že y je naproti úhlu 30 ° a že 40 je přepona, to znamená, že můžeme použít trigonometrický sinusový poměr.
hřích 30 ° = Y
40
1 = Y
2 40
2 y = 40
y = 20
Nyní se díváme na menší trojúhelník a vidíme, že máme hodnotu opačné strany a hledáme hodnotu x, což je sousední strana. Trigonometrický vztah zahrnující tyto dvě nohy je tečna. Tím pádem:
tg 60 ° = 20
X
√3= 20
X
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm