THE obvod je plochý geometrický útvar tvořený spojení bodů ve stejné vzdálenosti, to znamená, že mají stejnou vzdálenost od pevného bodu zvaného střed. Studie obvodu je také přítomna v analytická geometrie, ve kterém je možné odvodit rovnici, která ji představuje.
Ačkoliv kruh a obvod jsou ploché geometrické obrazce s některými prvky společnými, což obvykle vede k pochybnostem, tyto obrazce představují důležité rozdíly, zejména s ohledem na rozměrnost.
Přečtěte si také: Vzdálenost mezi dvěma body - důležitý koncept analytické geometrie
prvky kruhu
Všimněte si obvodu:
Bod C jmenuje se to střed kruhu, a všimněte si, že body A a B k tomu patří. Segment, který spojuje konce kruhu procházejícího středem, se nazývá průměr. Na předchozím obvodu pak musíme průměr je segment AB.
Do rozdělit průměr na polovinu, pojďme si pořídit poloměr obvodu, tj poloměr (r) kruhu je to segment, který spojuje střed a konec. V tomto případě je poloměr segmentem CB. Můžeme vytvořit matematický vztah mezi těmito dvěma prvky, protože průměr je dvakrát větší než poloměr.
d = 2 · r
Příklad
Určete poloměr kruhu, který má průměr měřící 40 cm.
Víme, že průměr je dvakrát větší než poloměr, například takto:
délka obvodu
Uvažujme kruh, který má poloměr měřící r. Ó délka nebo obvod obvodu je dán součinem Ckonstantní pí (π) o dvojnásobek poloměru.
Když vypočítáme délku nebo obvod kruhu, určujeme velikost čáry zelená v předchozím výkresu, a k tomu stačí nahradit hodnotu poloměru ve vzorci, který pokračuje postava.
Příklad
Určete délku obvodu o poloměru 5 cm.
Poloměr kruhu se rovná 5 cm, takže k určení délky kruhu musíme tuto hodnotu nahradit ve vzorci.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Podívejte se také: Konstrukce vepsaných polygonů
oblast obvodu
Uvažujme kruh o poloměru r. Abychom mohli vypočítat vaši plochu, musíme vynásobte druhou mocninu hodnoty poloměru π.
Když vypočítáme plochu kruhu, určujeme povrchovou míru, tj. Celou oblast uvnitř kruhu.
- Příklad
Určete plochu kruhu, který má poloměr rovný 4 cm.
Máme, že poloměr obvodu je rovný 4 cm, takže můžeme tuto míru nahradit ve vzorci pro plochu. Dívej se:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Rovnice se sníženým obvodem
Víme, že kruh lze vytvořit sbírka bodů, které mají stejnou vzdálenost z pevného bodu zvaného počátek nebo střed. Zvažte tedy pevný bod v Kartézské letadlo O (a, b). Sada bodů - reprezentovaných P (x, y) - které jsou ve stejné vzdálenosti r od tohoto pevného bodu, vytvoří kruh o poloměru r.
Všimněte si, že body tvaru P (x, y) jsou všechny ve stejné vzdálenosti od bodu O (a, b), tj. vzdálenost mezi body O a P se rovná poloměru kruhu, tím pádem:
Na redukovaná rovniceVšimněte si, že čísla The a B jsou souřadnice středu kruhu a to r je míra poloměru.
- Příklad
Určete souřadnice středu a míru poloměru kruhu, který má rovnici:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Při srovnání této rovnice s redukovanou rovnicí máme:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(X - 2)2 + (y -6)2 = 36
Podívejte se, že a = 2, b = 6 ar2 = 36. Jedinou rovnicí, kterou je třeba vyřešit, je:
r2 = 36
r = 6
Proto je souřadnice středu: O (2, 6) a délka poloměru je 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Podobně máme:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Zatímco hodnota poloměru je dána vztahem:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
X2 + y2 = 1
Všimněte si, že x2 = (x + 0)2 a y2 = (y + 0)2 . Musíme tedy:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Proto je souřadnice středu O (0, 0) a poloměr je roven 1.
Také přístup: Jak najít střed kruhu?
obecná rovnice kružnice
Abychom určili obecnou rovnici kružnice, musíme vyvinout redukovanou rovnici její. Uvažujme tedy o kružnici, která má střed na souřadnicích O (a, b) a poloměru r.
Zpočátku budeme termíny rozvíjet na druhou pomocí pozoruhodné produkty; potom předáme všechna čísla prvnímu členovi; a nakonec spojíme výrazy se stejným doslovným koeficientem, tj. termíny se stejnými písmeny. Dívej se:
Příklad
Určete souřadnice středu a střední poloměr kruhu, který má rovnici:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Abychom určili poloměr a souřadnice kružnice, která má tuto rovnici, musíme ji porovnat s obecnou rovnicí. Dívej se:
X2 + y2 – 2. místoX - 2by + The2 + B2 –r2 = 0
X2 + y2 – 4X - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Ze zelených srovnání musíme:
2. = 4
a = 2
nebo
The2 = 4
a = 2
Z červeného srovnání máme to:
2b = 6
b = 3
nebo
B2 = 9
b = 3
Můžeme tedy říci, že střed má souřadnice O (2, 3). Nyní, při srovnání hodnoty r, máme:
r2 = 49
r = 7
Poloměr kruhu má tedy délku rovnou 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
Podobným způsobem porovnejme rovnice:
X2 + y2 – 2. místoX - 2by + The2 + b2 - r2 = 0
X2 + y2 –10X + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Stanovení hodnoty b:
–2b = 14
b = - 7
Všimněte si nyní, že:
The2 + b2 - r2 = 10
Protože známe hodnoty a a b, můžeme je ve vzorci nahradit. Dívej se:
The2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Proto jsou souřadnice středu O (5, –7) a poloměr má délku rovnou 8.
Rozdíly mezi obvodem a kruhem
Rozdíl mezi kruhem a kruhem se týká počet rozměrů každého prvku. Zatímco kruh má jednu dimenzi, kruh má dvě.
Kruh je oblast v rovině tvořená body ve stejné vzdálenosti od pevného bodu zvaného počátek. Kruh se skládá z každé oblasti v kruhu. Podívejte se na rozdíl v obrázcích:
Podívejte se také:délka obvodu a plocha kruhu
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Obvod má obvod rovný 628 cm. Určete průměr této kružnice (osvojte π = 3,14).
Řešení
Protože se obvod rovná 628 cm, můžeme tuto hodnotu dosadit do výrazu délky obvodu.
otázka 2 - Dva kruhy jsou soustředné, pokud mají stejný střed. S tímto vědomím určete plochu prázdného obrázku.
Řešení
Všimněte si, že k určení oblasti oblasti v bílé barvě musíme určit oblast většího kruhu a poté plochu menšího kruhu modře. Všimněte si také, že pokud odstraníme modrý kruh, zůstane pouze oblast, kterou chceme, takže musíme tyto oblasti odečíst. Dívej se:
THEVĚTŠÍ = r2
THEVĚTŠÍ = (3,14) · (9)2
THEVĚTŠÍ = (3,14) · 81
THEVĚTŠÍ = 254,34 cm2
Pojďme nyní vypočítat plochu modrého kruhu:
THEMENŠÍ = r2
THEMENŠÍ = (3,14) · (5)2
THEMENŠÍ = (3,14) · 25
THEMENŠÍ = 78,5 cm2
Prázdná oblast je tedy dána rozdílem mezi větší oblastí a menší oblastí.
THEBÍLÝ = 254,34 – 78,5
THEBÍLÝ = 175,84 cm2
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm