Všechna existující čísla byla vytvořena podle lidských potřeb v době stvoření, jako je tomu v případě přirozených čísel, která byly vytvořeny k počítání a kontrole "zásob" a iracionálních čísel, která byla stanovena k řešení problémů ve vztahu k kořeny. Byly to právě problémy týkající se kořenů, které začaly znalosti o komplexní čísla.
Kvadratická rovnice x2 + 4x + 5 = 0 nemá žádné skutečné kořeny. To znamená, že v rámci množiny reálných čísel není možné najít hodnoty pro x, které by se rovaly prvnímu členu této rovnice druhému. Pozorujeme tento jev od začátku Bhaskarova vzorce:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Jakmile je pro Δ nalezena záporná hodnota, je nemožné pokračovat Bhaskarovým vzorcem, protože vyžaduje výpočet √Δ (kořen delty). Nyní víme, že √– 4 nelze vypočítat, protože neexistuje žádné skutečné číslo, které by samo o sobě vynásobilo - 4.
Pro splnění těchto potřeb byla vytvořena komplexní čísla. Od svého vzniku lze √– 4 vyvinout následovně:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
√ (- 1) se chápe jako nový typ čísla. Množina všech těchto čísel se nazývá množina komplexních čísel a každý zástupce této nové množiny je definován následovně: Nechť A je komplexní číslo, pak,
A = The + Bi, kde Thea B jsou reálná čísla a i = √ (- 1)
V této definici The Je znám jako skutečná část A. a B Je znám jako imaginární část A.
Vlastnosti komplexních čísel
Reálná čísla představují v celém rozsahu a geometricky čáru. Komplexní čísla zase představují celou rovinu. Kartézská rovina používaná k reprezentaci komplexních čísel je známá jako Argand-Gaussova rovina.
Každé komplexní číslo lze v rovině Argand-Gauss reprezentovat jako bod souřadnic (a, b). Vzdálenost od bodu představujícího komplexní číslo k bodu (0,0) se nazývá modul komplexního čísla., který je definován:
Nechť A = a + bi je komplexní číslo, jeho modul je | A | = a2 + b2
Složitá čísla mají také inverzní prvek, který se nazývá konjugát. Je definován jako:
Nechť A = a + bi je komplexní číslo,
Ā = a - bi je konjugát tohoto čísla.
Vlastnost 1: Součin komplexního čísla a jeho konjugátu se rovná součtu čtverců reálné části a imaginární části komplexního čísla. Matematicky:
AĀ = a2 + b2
Příklad: Jaký je produkt A = 2 + 5i podle jeho konjugátu?
Prostě proveďte výpočet: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Pokud bychom se rozhodli napsat konjugát A a poté provést násobení AĀ, měli bychom:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
To znamená, že pomocí navrhované vlastnosti je možné se vyhnout dlouhému výpočtu i chybám během těchto výpočtů.
Vlastnost 2: Pokud se komplexní číslo A rovná jeho konjugátu, pak A je reálné číslo.
Nechť A = a + bi. Pokud A = Ā, pak:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Proto b = 0
Proto je povinné, aby každé komplexní číslo, které se rovná jeho konjugátu, bylo také reálné číslo.
Vlastnost 3: Konjugát součtu dvou komplexních čísel se rovná součtu konjugátů těchto čísel., to znamená:
_____ _ _
A + B = A + B
Příklad: Jaký je konjugát součtu 7 + 9i a 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Nejprve můžete přidat a poté vypočítat konjugát výsledku, nebo nejprve provést konjugáty a poté výsledky přidat později.
Vlastnost 4: Konjugát produktu mezi dvěma komplexními čísly se rovná produktu jejich konjugátů, tj:
__ _ _
AB = A · B
Příklad: Jaký je produkt konjugátů A = 7i + 10 a B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
V závislosti na potřebě cvičení je možné nejprve se množit a poté vypočítat konjugát, nebo zobrazit konjugáty před provedením násobení.
Vlastnost 5: Součin komplexního čísla A a jeho konjugátu se rovná druhé mocnině modulu A, tj:
AĀ = | A |2
Příklad: A = 2 + 6i, pak AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Všimněte si, že není nutné najít konjugát a provést násobení prostřednictvím distribuční vlastnosti násobení nad sčítáním (známé jako malá sprchová hlavice).
Vlastnost 6: Modul komplexního čísla se rovná modulu jeho konjugátu. Jinými slovy:
| A | = | Ā |
Příklad: Najděte modul konjugátu komplexního čísla A = 3 + 4i.
Všimněte si, že není nutné najít konjugát, protože moduly jsou stejné.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Pokud by byly vypočítány | Ā |, jedinou změnou by byla a B negativní na druhou, což má pozitivní výsledek. Výsledkem by tedy stále byl kořen 25.
Vlastnost 7: Pokud jsou A a B komplexní čísla, pak se součin modulu A a B rovná modulu součinu A a B., tj:
| AB | = | A || B |
Příklad: Nechť A = 6 + 8i a B = 4 + 3i, kolik je | AB |?
Před výpočtem modulu není nutné vynásobit složitá čísla. Je možné vypočítat modul každého komplexního čísla samostatně a pak výsledky pouze vynásobit.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
