Když studujeme mnohostěn, narazíme na Platónovy pevné látky jako konkrétní případ. Chcete-li být Platónovým tělesem, mnohostěn musí splňovat tři podmínky:
být konvexní;
všechny tváře mají stejné množství hran;
všechny vrcholy jsou konce stejného počtu hran.
Několik filozofů se snažilo pochopit původ vesmíru a Platón to viděl prostorová geometrie vysvětlení tohoto původu. Platónovy pevné látky jsou:
čtyřstěn;
hexahedron;
osmistěn;
dodekahedron;
dvacetistěnu.
Všechny jsou považovány za pravidelné polygony hrany a jejich tváře jsou shodné. Platónovy pevné látky respektují Eulerův vztah, který uvádí počet vrcholů, ploch a hran podle vzorce V + F = A + 2.
Přečtěte si také: Jaké jsou rozdíly mezi plochými a prostorovými údaji?
pravidelný mnohostěn
Hledání pravidelných mnohostěn se opakuje, protože se s nimi snáze pracuje. Mnohostěn je klasifikován jako normální, pokud je má všechny tváře stejné polygon shodný. Když k tomu dojde, úhly a hrany jsou také shodné.
Platónovy pevné látky jsou zvláštní případy pravidelných mnohostěnů. Například kostka, která je Platónovým tělesem, má všechny své plochy tvořené shodnými čtverci.
Plato's Five Solids, tři jsou tvořeny trojúhelníkovými plochami se shodnými trojúhelníky, jeden je tvořen čtvercovými plochami a druhý je tvořen pětiúhelníkovými plochami.Co jsou Platónovy pevné látky?
Platón byl řecký filozof a matematik. Velkou měrou přispěl k matematice a ve snaze porozumět Vesmíru spojené pevné látky s přírodními prvky.
Chcete-li být platonickou pevnou látkou, musí být mnohostěn pravidelné a konvexní. Existuje pouze pět pevných látek, které splňují tuto definici. Jsou to: čtyřstěn, krychle nebo šestistěn, osmistěn, dvacetistěn a dvanáctistěn.
Vztah mezi přírodním prvkem a pevnou látkou byl:
čtyřstěn - oheň
šestistěn - Země
osmistěn - vzduch
dvacetistěnu - Voda
dvanáctistěn - Kosmo nebo vesmír
Chcete-li být Platónovým pevným Ó mnohostěn také musí být konvexní, všechny tváře musí mít stejný počet hran a všechny vrcholy musí být konce stejného počtu hran.
Podívejte se také: Dlažební kostky - geometrické tělesa tvořená plochými a polygonálními plochami
pravidelný čtyřstěn
Pravidelný čtyřstěn je mnohostěn, který má 4 tváře, což ospravedlňuje jeho název (tetra = čtyři). všechny tváře jsou tvořené trojúhelníky. Má tvar jako pyramida trojúhelníkové základny a je známá jako pyramida pravidelné základny, protože všechny její tváře jsou shodné. Má celkem 4 tváře (ve formátu rovnostranný trojúhelník), 4 vrcholy a 6 hran.
Pokud si chcete vytvořit svůj vlastní pravidelný čtyřstěn, jednoduše si stáhněte a vytiskněte PDF tady.
Pravidelná kostka nebo šestihran
pravidelný šestistěn má 6 tváře, což ospravedlňuje jeho název (hex = šest). vaše tváře jsou všechny náměstí. Je také známá jako krychle a má 6 ploch, 12 hran a 8 vrcholů.
Pokud si chcete postavit vlastní kostku, jednoduše si stáhněte a vytiskněte PDF tady.
Osmistěn
Stejně jako ty předchozí je jméno spojeno s počtem tváří, tedy s osmistěnem má 8 tváří. Tyto tváře mají rovnostranný trojúhelníkový tvar. Osmiboký má 8 ploch, 12 hran a 6 vrcholů.
Pokud si chcete postavit svůj vlastní osmistěn, stačí stáhnout a vytisknout PDF tady.
dvacetistěnu
Ikosahedron má celkem 20 tváří. Jejich tváře mají tvar rovnostranných trojúhelníků, stejně jako osmistěn. Má celkem 20 tváří, 30 hran a 12 vrcholů.
Pokud si chcete postavit svůj vlastní icosahedron, jednoduše si stáhněte a vytiskněte PDF tady.
Dodecahedron
Dodecahedron je poslední Platónova tělesa. Má celkem 12 tváří a je považován za harmoničtější mezi pěti platonickými pevnými látkami. Jejich tváře mají tvar pětiúhelníků. Má 12 tváří, 30 hran a 20 vrcholů.
Pokud si chcete vytvořit svůj vlastní dvanáctistěn, stačí stáhnout a vytisknout soubor PDF tady.
Také přístup: Válec - geometrické těleso tvořené dvěma rovnoběžnými kruhovými plochami a v různých rovinách
Eulerův vzorec
Euleriánské mnohostěny jsou konvexní mnohostěny. Euler vyvinul vzorec, který souvisí s počtem ploch (F), počtem vrcholů (V) a počtem hran (A) v konvexním mnohostěnu. Všechny Platónovy pevné látky splňují Eulerův vztah.
V + F = A + 2 |
Analýza vzorce pak je možné vypočítat počet vrcholů z počtu ploch a hran, nebo zkrátka počet ploch z počtu vrcholů a hran, pokud známe dva z jeho prvků, je vždy možné najít třetí.
Příklad:
S vědomím, že mnohostěn má 8 vrcholů a 12 hran a že je pravidelný, kolik ploch má?
Víme, že V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Enem 2016) Platónovy pevné látky jsou konvexní mnohostěny, jejichž tváře jsou všechny shodné s jediným mnohoúhelníkem normální, všechny vrcholy mají stejný počet dopadajících hran a každá hrana je sdílena pouze dvěma. tváře. Jsou důležité například při klasifikaci tvarů minerálních krystalů a při vývoji různých předmětů. Stejně jako všechny konvexní mnohostěny, Platónovy pevné látky respektují Eulerův vztah V - A + F = 2, kde V, A a F jsou počet vrcholů, hran a ploch mnohostěnů.
Jaký je vztah mezi počtem vrcholů a počtem ploch v krystalu, jehož tvar má Platónův mnohostěn s trojúhelníkovou tváří?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Řešení
Alternativa C. Jelikož jsou plochy trojúhelníkové, víme, že pro každou plochu jsou 3 hrany. Chcete-li však spojit počet hran s počtem ploch, je důležité si uvědomit, že každá hrana je obsažena na dvou tvářích, protože setkání dvou tváří tvoří hranu, takže v tomto případě můžeme spojit hranu s tváří za:
Když máme Eulerův vztah jako V - A + F = 2 a nahradíme A, musíme:
Otázka 2 - Z níže uvedených alternativ posuďte, která z nich není Platón.
A) Kostka
B) Pravidelný čtyřstěn
C) Ikosahedron
D) Dodecahedron
E) Kužel
Řešení:
Alternativa E. Z alternativ, jediný, který neodpovídá Platónově tělesu, je kužel.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
