Argand-Gaussova rovina (komplexní rovina)

Ó Argand-Gaussův plán skládá se ze dvou os: jedné svislé (známé jako imaginární osa) a jedné vodorovné (známé jako skutečná osa). To je možné geometricky reprezentovat komplexní číslakteré jsou v algebraické formě.

Prostřednictvím tohoto geometrického zobrazení je to možné rozvíjet některé koncepty, jako je modul a argument komplexního čísla. Komplexní čísla jsou algebraicky reprezentována z = a + bi, takže jsou reprezentována tečkami (a, b), které se říká přípona.

Přečtěte si také: Geometrické znázornění součtu komplexních čísel

Geometrické znázornění komplexních čísel

Reprezentace komplexních čísel v Argand-Gaussově rovině

Složitá rovina, známá také jako Argand-Gaussova rovina, není nic jiného než aKartézské letadlo pro komplexní čísla. V rovině Argand-Gauss je možné reprezentovat komplexní číslo jako tečku, známé jako přípona. S vývojem komplexního plánu je vývoj analytická geometrie pro komplexní čísla, což umožňuje rozvíjet důležité pojmy jako modul a argument.

Komplexní číslo představované v algebraické formě je

z = a + bi, o tom, co The je skutečnou součástí a B je imaginární část. Proto, komplexní čísla jsou reprezentována jako tečka (a, b). V Argand-Gaussově rovině je vodorovná osa osou skutečné části a svislá osa je osou imaginární části.

Připevnit

Ó bod v rovině představující komplexní číslo také se tomu říká přípona. Existují tři možné případy reprezentace: imaginární přípony, skutečné přípony a čisté imaginární přípony.

• imaginární přípony

Přípona je známá jako imaginární, když komplexní číslo má obě a skutečná část a imaginární část nenulová. V tomto případě je příponou bod v kterémkoli ze čtyř kvadrantů, v závislosti na hodnotách a, b a jejich příslušných znacích.

Příklad:

Viz reprezentace komplexních čísel z₁ = 2 + 3i, z₂ = -3 - 4i, z₃ = -2 + 2i a z₄= 1 - 4i.

Podívejte se také: Vlastnosti zahrnující komplexní čísla

• čisté imaginární přípony

Komplexní číslo je známé jako čistě imaginární, když se vaše skutečná část rovná nule, tj. z = bi. Všimněte si, že v tomto případě je první souřadnice vždy nulová, takže pojďme pracovat s body typu (0, b). Při značení v rovině Argand-Gauss vždy čisté imaginární označení bude bod patřící k imaginární ose, tj. na svislou osu.

Příklad:

Viz reprezentace komplexních čísel z₁ = 2i a z₂= -3i.

• skutečné přípony

Komplexní číslo je klasifikováno jako a reálné číslokdyž tvůj imaginární část se rovná nule, tj. z = a. V tomto případě je druhá souřadnice vždy nulová, takže budeme pracovat s body typu (a, 0), takže imaginární část je nulová a přípony jsou obsaženy ve skutečné ose komplexní roviny.

Příklad:

Viz reprezentace komplexních čísel z₁ = 2 a z₂ = -4.

Komplexní číselný modul

Když reprezentujeme komplexní číslo, nechť P (a, b) je přípona komplexního čísla z = a + bi. Známe modul komplexního čísla a vzdálenost od bodu P k počátku. Modul komplexního čísla z je reprezentován | z |. K nalezení hodnoty | z | používáme Pythagorova věta.

| z | ² = a² + b²

Můžeme také zastupovat:

Příklad:

Najděte modul komplexního čísla z = 12 -5i.

| z | ² = 12² + (-5) ²

| z | ² 144 + 25

| z | ² = 169

| z | = √169

| z | = 13

Také přístup: Co jsou to racionální čísla?

argument komplexního čísla

Víme jak argument komplexního čísla Ó úhel θ tvořený vektorem OP a skutečnou osou. Argument čísla je reprezentován arg (z) = θ.

K nalezení úhlu použijeme trigonometrické poměry sinus a kosinus.

Chcete-li zjistit hodnotu argumentu, stačí znát sinus a kosinus viz tabulka hodnot pro tyto trigonometrické poměry. Obvykle je při přijímacích zkouškách na toto téma argumentem a pozoruhodný úhel.

Příklad:

Najděte argument komplexního čísla z = 1 + i.

Nejprve vypočítáme modul z.

| z | ² = 1² + 1²

| z | ² = 1 + 1

| z | ² = 2

| z | = √2

Když víme | z |, můžeme vypočítat sinus a kosinus úhlu.

Úhel, který má sinus a kosinus s nalezenými hodnotami, je 45 °.

vyřešená cvičení

Otázka 1 - Jaký je argument komplexního čísla z = √3 + i?

A) 30.

B) 45

C) 60

D) 90 °

E) 120

Řešení

Alternativa C.

Víme, že a = √3 ab = 1, takže:

Otázka 2 - V následujícím komplexním plánu byla představena některá čísla. Analýzou plánu můžeme říci, že body jsou reprezentacemi čistých imaginárních čísel:

A) M, N a I.

B) P a I.

C) L a G.

D) O, I, G.

E) K, J a L.

Řešení

Alternativa B.

K identifikaci čistého imaginárního čísla ve složité rovině je nutné, aby bylo na svislé ose, což jsou v tomto případě body P a I.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm