Ó Argand-Gaussův plán skládá se ze dvou os: jedné svislé (známé jako imaginární osa) a jedné vodorovné (známé jako skutečná osa). To je možné geometricky reprezentovat komplexní číslakteré jsou v algebraické formě.
Prostřednictvím tohoto geometrického zobrazení je to možné rozvíjet některé koncepty, jako je modul a argument komplexního čísla. Komplexní čísla jsou algebraicky reprezentována z = a + bi, takže jsou reprezentována tečkami (a, b), které se říká přípona.
Přečtěte si také: Geometrické znázornění součtu komplexních čísel
Geometrické znázornění komplexních čísel
Složitá rovina, známá také jako Argand-Gaussova rovina, není nic jiného než aKartézské letadlo pro komplexní čísla. V rovině Argand-Gauss je možné reprezentovat komplexní číslo jako tečku, známé jako přípona. S vývojem komplexního plánu je vývoj analytická geometrie pro komplexní čísla, což umožňuje rozvíjet důležité pojmy jako modul a argument.
Komplexní číslo představované v algebraické formě je
z = a + bi, o tom, co The je skutečnou součástí a B je imaginární část. Proto, komplexní čísla jsou reprezentována jako tečka (a, b). V Argand-Gaussově rovině je vodorovná osa osou skutečné části a svislá osa je osou imaginární části.Připevnit
Ó bod v rovině představující komplexní číslo také se tomu říká přípona. Existují tři možné případy reprezentace: imaginární přípony, skutečné přípony a čisté imaginární přípony.
imaginární přípony
Přípona je známá jako imaginární, když komplexní číslo má obě a skutečná část a imaginární část nenulová. V tomto případě je příponou bod v kterémkoli ze čtyř kvadrantů, v závislosti na hodnotách a, b a jejich příslušných znacích.
Příklad:
Viz reprezentace komplexních čísel z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i a z4= 1 - 4i.
Podívejte se také: Vlastnosti zahrnující komplexní čísla
čisté imaginární přípony
Komplexní číslo je známé jako čistě imaginární, když se vaše skutečná část rovná nule, tj. z = bi. Všimněte si, že v tomto případě je první souřadnice vždy nulová, takže pojďme pracovat s body typu (0, b). Při značení v rovině Argand-Gauss vždy čisté imaginární označení bude bod patřící k imaginární ose, tj. na svislou osu.
Příklad:
Viz reprezentace komplexních čísel z1 = 2i a z2= -3i.
skutečné přípony
Komplexní číslo je klasifikováno jako a reálné číslokdyž tvůj imaginární část se rovná nule, tj. z = a. V tomto případě je druhá souřadnice vždy nulová, takže budeme pracovat s body typu (a, 0), takže imaginární část je nulová a přípony jsou obsaženy ve skutečné ose komplexní roviny.
Příklad:
Viz reprezentace komplexních čísel z1 = 2 a z2 = -4.
Komplexní číselný modul
Když reprezentujeme komplexní číslo, nechť P (a, b) je přípona komplexního čísla z = a + bi. Známe modul komplexního čísla a vzdálenost od bodu P k počátku. Modul komplexního čísla z je reprezentován | z |. K nalezení hodnoty | z | používáme Pythagorova věta.
| z | ² = a² + b²
Můžeme také zastupovat:
Příklad:
Najděte modul komplexního čísla z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Také přístup: Co jsou to racionální čísla?
argument komplexního čísla
Víme jak argument komplexního čísla Ó úhel θ tvořený vektorem OP a skutečnou osou. Argument čísla je reprezentován arg (z) = θ.
K nalezení úhlu použijeme trigonometrické poměry sinus a kosinus.
Chcete-li zjistit hodnotu argumentu, stačí znát sinus a kosinus viz tabulka hodnot pro tyto trigonometrické poměry. Obvykle je při přijímacích zkouškách na toto téma argumentem a pozoruhodný úhel.
Příklad:
Najděte argument komplexního čísla z = 1 + i.
Nejprve vypočítáme modul z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Když víme | z |, můžeme vypočítat sinus a kosinus úhlu.
Úhel, který má sinus a kosinus s nalezenými hodnotami, je 45 °.
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Jaký je argument komplexního čísla z = √3 + i?
A) 30.
B) 45
C) 60
D) 90 °
E) 120
Řešení
Alternativa C.
Víme, že a = √3 ab = 1, takže:
Otázka 2 - V následujícím komplexním plánu byla představena některá čísla. Analýzou plánu můžeme říci, že body jsou reprezentacemi čistých imaginárních čísel:
A) M, N a I.
B) P a I.
C) L a G.
D) O, I, G.
E) K, J a L.
Řešení
Alternativa B.
K identifikaci čistého imaginárního čísla ve složité rovině je nutné, aby bylo na svislé ose, což jsou v tomto případě body P a I.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm