Trigonometrický kruh: co to je, příklady, cvičení

trigonometrický kruh je kruh o poloměru 1 představovaný v Kartézské letadlo. V něm je vodorovná osa kosinová osa a svislá osa sinusová osa. Může se také nazývat trigonometrický cyklus.

Používá se k provádění studia trigonometrických poměrů. S ním je možné lépe porozumět hlavním trigonometrickým důvodům úhly větší než 180 °, jmenovitě: sinus, kosinus a tangenta.

Přečtěte si také: 4 nejčastější chyby v základní trigonometrii

Krok za krokem budujte trigonometrický kruh

Chcete-li sestrojit trigonometrický kruh, používáme dvě osy, jedna svislá a jedna vodorovná, jako kartézská rovina. Vodorovná osa je známá jako kosinová osa, a svislá osa je známá jako sinusová osa.

Svislá osa je sinusová osa a vodorovná osa je kosinová osa.

S konstrukcí os nakreslíme graf kruhu, který má poloměr 1.

Trigonometrický kruh označující, že měření poloměru je 1.

Trigonometrické poměry v kruhu

Kruh použijeme k nalezení hodnoty sinus, kosinus a tečna, podle hodnoty úhlu. mít v vertikální osa sinusová hodnota a na horizontální ose kosinová hodnota

, určením úhlu na trigonometrické kružnici je možné najít hodnotu sinu a kosinu analýzou souřadnice bodu, kde úsečka spojuje střed kruhu a obvod, představovaný P na obrázku a následovat. Pokud nakreslíme tečnou čáru ke kružnici v bodě (1.0), můžeme také vypočítat tangens tohoto úhlu analyticky podle obrázku:

Souřadnice bodu P jsou P (cosα, sinα).

Přečtěte si také: Co jsou sekans, kosekans a kotangens?

Trigonometrické kruhové radiány

Trigonometrický cyklus s mírou ve stupních

Víme, že oblouk lze měřit pomocí dvou různých měrných jednotek: míry ve stupních a míry ve radiány. Víme, že obvod je 360 ​​° a že délka vašeho oblouku je 2π:

Trigonometrický cyklus měření v radiánech

Kvadranty trigonometrického kruhu

Ať už v radiánech nebo ve stupních, je možné podle jeho měření definovat kvadrant, ve kterém se daný oblouk nachází.

Trigonometrický kruh s vyznačením kvadrantů

Při analýze cyklu musíme:

• první kvadrant: úhly, které jsou mezi 0 až 90 ° nebo 0 a π / 2 radiány;

• druhý kvadrant: úhly, které jsou mezi 90 ° a 180 ° nebo π / 2 a π radiány;

• třetí kvadrant: úhly, které jsou mezi 180 ° a 270 ° nebo π a 3 π / 2 radiány;

• čtvrtý kvadrant: úhly, které jsou mezi 270 ° a 360 ° nebo 3π / 2 a 2π radiány.

Přečtěte si také: Vlastnosti a vlastnosti plánu

Pozoruhodné úhly v trigonometrickém kruhu

Na začátku studia trigonometrie, jsme se dozvěděli, že pozoruhodné úhly jsou úhly 30 °, 45 ° a 60 °, které mají hodnotu známého sinu, kosinu a tečny. Kvůli symetrii trigonometrického cyklu však je možné najít hodnoty sinu a kosinu pro tyto úhly a symetrické úhly v každém z kvadrantů.

Sinusové a kosinové hodnoty pro hlavní úhly trigonometrie

Znaky trigonometrického kruhu

Abychom pochopili, co je znamením každého z trigonometrických poměrů v cyklu, stačí analyzovat hodnoty os v kartézské rovině.

Začněme kosinusem. Protože se jedná o vodorovnou osu, kosinus úhlů zahrnutých vpravo od svislé osy je kladný a kosinus úhlů zahrnutých nalevo od svislé osy je záporný.

Kosinus je kladný v 1. a 4. kvadrantu a záporný ve 2. a 3. kvadrantu.

Abychom pochopili sinusový znak úhlu, nezapomeňte, že svislá osa je sinusová osa, takže sinus úhlu, který je nad vodorovnou osou, je kladný; ale pokud je úhel pod vodorovnou osou, sinus tohoto úhlu je záporný, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Sinus je kladný v 1. a 2. kvadrantu a záporný ve 3. a 4. kvadrantu.

Víme, že tangenta je poměr mezi sinusem a kosinemAbychom našli znaménko tečny pro každý z kvadrantů, hrajeme hru se znaménkem, díky níž je tečna kladná v lichých kvadrantech a záporná v sudých kvadrantech:

Tečna je kladná v 1. a 4. kvadrantu a záporná ve 2. a 3. kvadrantu.

Přečtěte si také: Co jsou polopřímé, polorovinné a poloprostorové?

symetrie v kruhu

Analýza trigonometrického cyklu, je možné zkonstruovat způsob, jak snížit sinus, kosinus a tangens k prvnímu kvadrantu. Tato redukce znamená najít v prvním kvadrantu úhel, který je symetrický s úhlem ostatních kvadrantů, protože když pracujeme se symetrickým úhlem, hodnota trigonometrických poměrů je stejná, mění se pouze její signál.

• Zmenšení úhlu, který je ve 2. kvadrantu na 1. kvadrant

Počínaje úhly, které jsou ve 2. kvadrantu, musíme:

Jak víme, v 1. a 2. kvadrantu je sinus kladný. Pro výpočet redukce sinusu z 2. kvadrantu do 1. kvadrantu použijeme vzorec:

sin x = sin (180º - x)

Kosinus a tangenta ve 2. kvadrantu jsou záporné. Abychom snížili kosinus z 2. kvadrantu do 1. kvadrantu, použijeme vzorec:

cosx = - cos (180º - x)

tg x = - tg (180º - x)

Příklad:

Jaká je hodnota sinu a kosinu v úhlu 120 °?

Úhel 120 ° je druhý úhel kvadrantu, protože je mezi 90 ° a 180 °. Abychom tento úhel zmenšili na 1. kvadrant, vypočítáme:

hřích 120 ° = hřích (180 ° - 120 °)

hřích 120 ° = hřích 60 °

Úhel 60 ° je pozoruhodný úhel, takže je známa jeho sinusová hodnota, takže:

Nyní vypočítáme váš kosinus:

cos 120º = - cos (180-120)

cos 120º = - cos 60º

Protože známe kosinus 60 °, musíme:

• Zmenšení úhlu, který je ve 3. kvadrantu do 1. kvadrantu

Stejně jako ve 2. kvadrantu existuje symetrie mezi úhly ve 3. kvadrantu a úhly v 1. kvadrantu.

Sínus a kosinus ve třetím kvadrantu jsou záporné. Abychom snížili sinus a kosinus ze 3. kvadrantu do 1. kvadrantu, použijeme vzorec:

sin x = - sin (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180 °)

Tečna ve 3. kvadrantu je kladná. Abychom to snížili, použijeme vzorec:

tg x = tg (x - 180 °)

Příklad:

Vypočítejte sinus, kosinus a tangens 225 °.

sin 225º = - sin (225º - 180º)

hřích 225º = - hřích 45º

Protože 45 ° je pozoruhodný úhel, musíme při prohlížení tabulky:

Nyní, při výpočtu kosinu, musíme:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Víme, že tg45º = 1, takže:

tg 225º = 1

• Zmenšení úhlu ve 4. kvadrantu do 1. kvadrantu

Se stejným zdůvodněním jako předchozí redukce existuje symetrie mezi 4. a 1. kvadrantem:

Sinusové a tečné hodnoty ve 4. kvadrantu jsou záporné. Abychom provedli redukci ze 4. do 1. kvadrantu, použijeme vzorec:

sin x = - sin (360º - x)

tg x = - tg (360º - x)

Kosinus ve 4. kvadrantu je kladný. Pro redukci do 1. kvadrantu je tedy vzorec:

cos x = cos (360º - x)

Příklad:

Vypočítejte hodnotu sinu a kosinu 330 °.

Počínaje sinusem:

Nyní se počítá kosinus:

Přečtěte si také: Jak vypočítat vzdálenost mezi dvěma body v prostoru?

Trigonometrický kruh vyřešil cvičení

Otázka 1 - Během studia kruhového momentu fyzik analyzoval objekt, který se otáčel kolem sebe a vytvářel úhel 15 240 °. Při analýze tohoto úhlu je oblouk tvořený:

A) kvadrant I.

B) kvadrant II.

C) kvadrant III.

D) kvadrant IV.

E) na jedné z os.

Řešení

Alternativa B.

Víme, že každých 360 ° tento objekt dokončil kruh kolem sebe. Při provádění divize z 15 240 na 360, zjistíme, kolik úplných obratů tento objekt kolem sebe udělal, ale naším hlavním zájmem je zbytek, který představuje úhel, pod kterým se zastavil.

15.240: 360 = 42,333…

Výsledek ukazuje, že udělal 42 otáček kolem sebe, ale 360 ​​· 42 = 15,120, takže opustil úhel:

15.240 – 15.120 = 120º

Víme, že 120 ° je kvadrantový druhý úhel.

Otázka 2 - Posuďte prosím následující prohlášení:

I → Při výpočtu tg 140 ° bude hodnota záporná.

II → Úhel 200 ° je úhel 2. kvadrantu.

III → Sen 130 ° = hřích 50 °.

Označte správnou alternativu:

A) Jen já jsem falešný.

B) Pouze II je nepravdivé.

C) Pouze III je nepravdivé.

D) Všechny jsou pravdivé.

Řešení

Alternativa B.

I → Pravda, protože úhel 140º patří do 2. kvadrantu, ve kterém je tečna vždy záporná.

II → False, protože úhel 200 ° je úhel 3. kvadrantu.

III → Je pravda, protože pro zmenšení úhlu od 2. do 1. kvadrantu stačí vypočítat rozdíl 180 ° - x, poté:

hřích 130 ° = hřích (180 ° - 130 °)

hřích 130. = hřích 50.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm