Úhel mezi dvěma vektory

Vektory jsou matematické objekty odpovědné za popis trajektorie bodů. Mnohokrát tyto body představují konkrétní objekty v pohybu, které podrobně studuje fyzika. Při zvažování sil podílejících se na pohybu (ve skutečnosti nebo potenciálním) objektu fyzika využívá vektory k jejich reprezentaci. Úhel, který tyto vektory tvoří, je zásadní součástí výpočtů jako malá změna úhlu může vyžadovat použití větší síly na objekt, aby mohl začít nebo zůstat uvnitř hnutí.

Vektory jsou geometricky znázorněny šipkami, které jsou orientovány přímkami. Jeden konec segmentu tedy označuje konečnou polohu posunutého bodu a druhý konec je neoznačený, což naznačuje, že pohyb tam začal. Bod umístění koncového bodu se obecně používá k identifikaci vektoru, který začíná na počátku souřadnicového systému. Když vezmeme v úvahu kartézskou rovinu jako souřadný systém, vektor v, počínaje bodem (0,0) a končící v bodě (a, b), je reprezentován pouze jako vektor v = (a, b). Pokud vektor začíná v jiném bodě, jednoduše jej přesuňte na příslušné místo.

Vektor v kartézské rovině

Protože se jedná o orientované přímky, je možné vypočítat jejich délku, která se nazývá vektorová norma. Výpočet normy vektoru je uveden stejným způsobem jako vzdálenost mezi dvěma body a je ekvivalentní výpočtu modulu reálného čísla. Tímto způsobem je norma vektoru v = (a, b) označena | v | a lze jej vypočítat takto:

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

Vezmeme-li v úvahu dva vektory v = (a, b) a u = (a ', b'), je domácí produkt mezi nimi je označen a je dán následujícím výrazem:

= a · a '+ b · b'

Produkt bodu mezi dvěma vektory je také definován prostřednictvím úhlu mezi nimi. Tato definice umožňuje vypočítat úhel mezi dvěma vektory.

Úhel mezi dvěma vektory

Vezmeme-li tedy stejné vektory v a u, kosinus úhlu θ mezi nimi je dán následujícím výrazem:

cosθ =
| v | · | u |

Vyzbrojeni těmito daty, definicemi a svým způsobem vzorce je možné navrhnout strategii pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory.

Vzhledem k vektorům v = (2,2) a u = (0,2) vypočítáme úhel mezi nimi. Chcete-li tak učinit, nejprve vypočítejte normu každého vektoru a součin mezi těmito normami:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| u | = √ (0² + 2²)
| u | = √ (0 + 4)
| u | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

Poté vypočítejte vnitřní součin mezi v a u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Nakonec použijte vzorec úhlu mezi vektory k výpočtu cosθ a a tabulka kosinových hodnot najít hodnotu θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Úhel mezi dvěma vektory"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Zpřístupněno 27. června 2021.