Divize polynomy má různé metody rozlišení. Představíme tři metody pro toto rozdělení: Descartovu metodu (koeficienty budou stanoveny), klíčovou metodu a praktické zařízení Briot-Ruffini.
Přečtěte si více: Polynomiální rovnice: forma a řešení
polynomiální dělení
Při dělení polynomu P (x) nenulovým polynomem D (x), kde je stupeň P větší než D (P > D), znamená, že musíme najít polynom Q (x) a R (x), takže:
Tento proces je ekvivalentní psaní:
P (x) → dividenda
D (x) → dělitel
Q (x) → kvocient
R (x) → zbytek
Z vlastností potenciace, musíme stupeň kvocientu se rovná rozdílu mezi stupni dividendy a dělitelem.
Q = P - D
Také, když se zbytek dělení mezi P (x) a D (x) rovná nule, řekneme, že P (x) je dělitelný podle D (x).
Pravidla polynomiálního dělení
Metoda pro stanovení koeficientů - metoda odhodí
Chcete-li provést rozdělení mezi polynomy P (x) a D (x), se stupněm P větším než stupeň D, postupujte podle následujících kroků:
Krok 1 - Určete stupeň kvocientu polynomu Q (x);
Krok 2 - Vezměte co nejvíce stupně pro zbytek divize R (X) (pamatujte: R (x) = 0 nebo R < D);
Krok 3 - Napište polynomy Q a R s doslovnými koeficienty, takže P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
Příklad
S vědomím, že P (x) = 4x3 - X2 + 2 a to D (x) = x2 + 1, určete kvocient polynomu a zbytek.
Stupeň kvocientu je 1, protože:
Q =P - D
Q =3 – 2
Q = 1
Takže v polynomu Q (x) = a · x + b je zbytek R (x) polynom, jehož nejvyšší stupeň může být 1, tedy: R (x) = c · x + d. Nahrazení dat ve stavu z kroku 3, máme:
Porovnáním koeficientů polynomů máme:
Polynom Q (x) = 4x-1 a R (x) = -4x + 3.
c metodamít
Skládá se z provedení rozdělení mezi polynomy následujícími po stejná myšlenka dělení dvou čísel, volání algoritmus dělení. Viz následující příklad.
Zvažme opět polynomy P (x) = 4x3 - X2 + 2 a D (x) = x2 +1, a teď je rozdělíme pomocí klíčové metody.
Krok 1 - V případě potřeby doplňte dividendový polynom s nulovými koeficienty.
P (x) = 4x3 - X2 + 0x + 2
Krok 2 - Vydělte první člen dividendy prvním členem dělitele a poté vynásobte kvocient každým dělitelem. Dívej se:
Krok 3 - Rozdělte zbytek z kroku 2 kvocientem a opakujte tento postup, dokud není stupeň zbytku menší než stupeň kvocientu.
Proto Q (x) = 4x-1 a R (x) = -4x +3.
Také přístup: Sčítání, odčítání a násobení polynomů
Briotovo praktické zařízeníRuffini
používá rozdělit polynomy na dvojčleny.
Uvažujme polynomy: P (x) = 4x3 + 3 a D (x) = 2x + 1.
Tato metoda spočívá v kreslení dvou segmentů, jednoho horizontálního a jednoho vertikálního, a na tyto segmenty dáme koeficient dividendy a odmocninu dělitele polynomu, navíc se opakuje první součinitel. Dívej se:
Všimněte si, že nejmenší průměr je kořen dělitele a že první koeficient byl rozdělen.
Nyní musíme vynásobit kořen dělitele opakovaným členem a přidat jej k dalšímu, viz:
Poslední číslo nalezené v praktickém zařízení je zbytek a zbytek jsou koeficienty kvocientového polynomu. Tato čísla musíme vydělit prvním koeficientem dělitele, v tomto případě 2. Tím pádem:
Další informace o této metodě dělení polynomů najdete na: dělení polynomů pomocí zařízení Briot-Ruffini.
Cvičení vyřešena
Otázka 1 (UFMG) Polynom P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 je dělitelné D (x) = 3x2 - 2x. Hodnota m je:
Řešení
Protože polynom P je dělitelný D, můžeme použít algoritmus dělení. Tím pádem,
Jelikož bylo dáno, že polynomy jsou dělitelné, zbytek se rovná nule. Již brzy,
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm