Trigonometrické rovnice jsou rovnosti zahrnující trigonometrické funkce neznámých oblouků. Řešení těchto rovnic je jedinečný proces, který využívá techniky redukce k jednodušším rovnicím. Pojďme se zabývat pojmy a definicemi rovnic ve formě cosx = a.
Trigonometrické rovnice ve tvaru cosx = α mají řešení v intervalu –1 ≤ x ≤ 1. Určení hodnot x, které splňují tento typ rovnice, se řídí následující vlastností: Pokud mají dva oblouky stejné kosiny, pak jsou shodné nebo doplňkové..
Nechť x = α je řešením rovnice cos x = α. Další možná řešení jsou oblouky shodné s obloukem α nebo obloukem - α (nebo s obloukem 2π - α). Takže: cos x = cos α. Všimněte si zastoupení v trigonometrickém cyklu:
Dospěli jsme k závěru, že:
x = α + 2kπ, s k Є Z nebo x = - α + 2kπ, s k Є Z
Příklad 1
Vyřešte rovnici: cos x = √2 / 2.
Z tabulky trigonometrických poměrů odpovídá que2 / 2 úhlu 45 °. Pak:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Rovnice cosx = √2 / 2 má tedy jako řešení všechny oblouky shodné s obloukem π / 4 nebo –π / 4 nebo dokonce 2π - π / 4 = 7π / 4. Všimněte si obrázku:
Dospěli jsme k závěru, že možná řešení rovnice cos x = √2 / 2 jsou:
x = π / 4 + 2kπ, s k Є Z nebo x = - π / 4 + 2kπ, s k Є Z
Příklad 2
Vyřešte rovnici: cos 3x = cos x
Když jsou oblouky 3x a x shodné:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Když se oblouky 3x a x doplňují:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Řešení rovnice cos 3x = cos x je {x Є R / x = kπ nebo x = kπ / 2, s k Є Z}.
Mark Noah
Vystudoval matematiku
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm