Numerické množiny jsou sbírky čísel, které mají podobné vlastnosti. Narodili se v důsledku potřeb lidstva v určitém historickém období. Podívejte se, co jsou zač!
Sada přirozených čísel
Sada Přirozená čísla bylo to první, co bylo slyšet. Vznikla z jednoduché potřeby počítat, takže její prvky jsou pouze celá čísla a nejsou záporná.
Sada přirozených čísel reprezentovaná N má následující prvky:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Sada celých čísel
Sada celá čísla jedná se o rozšíření množiny přirozených čísel. Vzniká spojením množiny přirozených čísel se zápornými čísly. Jinými slovy, sada celých čísel, představovaná Z, má následující prvky:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Sada racionálních čísel
Sada racionální čísla vzniklo z potřeby dělit množství. Toto je množina čísel, která lze zapsat jako zlomek. Sada racionálních čísel reprezentovaná Q má následující prvky:
Q = {x ∈ Q: x = a / b, a ∈ Z a b ∈ N}
Výše uvedená definice se čte následovně: x patří k racionálním, takže x se rovná The děleno B, s The patřící k celým číslům a B patřící k přírodním.
Jinými slovy, pokud jde o zlomek nebo číslo, které lze zapsat jako zlomek, pak jde o racionální číslo.
Čísla, která lze zapsat jako zlomek, jsou:
1 - Všechna celá čísla;
2 - Konečná desetinná místa;
3 - Periodické desátky.
Konečná desetinná místa jsou ta, která mají konečný počet desetinných míst. Hodinky:
1,1
2,32
4,45
Periodická desetinná místa jsou nekonečná desetinná místa, ale opakují konečnou sekvenci svých desetinných míst. Hodinky:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Sada iracionálních čísel
definice iracionální čísla závisí na definici racionálních čísel. Proto všechna čísla, která nepatří do množiny racionálních, patří do množiny iracionálních čísel.
Tímto způsobem je buď číslo racionální, nebo iracionální. Není možné, aby číslo patřilo do těchto dvou sad současně. Tímto způsobem je sada iracionálních čísel komplementární k sadě racionálních čísel ve vesmíru reálných čísel.
Další způsob, jak definovat množinu iracionálních čísel, je následující: Iracionální čísla jsou ta, která Ne lze napsat ve zlomku. Jsou oni:
1 - nekonečná desetinná místa
2 - Kořeny nejsou přesné
Nekonečná desetinná místa jsou čísla, která mají nekonečná desetinná místa a nejsou periodickými desátky. Například:
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
0,12345678910111213...
π
√2
Sada skutečných čísel
Sada reálná čísla je tvořena všemi výše uvedenými čísly. Jeho definice je dána spojením mezi množinou racionálních čísel a množinou iracionálních čísel. Tuto množinu, kterou představuje R, lze matematicky zapsat takto:
R = Q U I = {Q + I}
Já je množina iracionálních čísel. Tímto způsobem jsou všechna výše uvedená čísla také reálná čísla.
Sada komplexních čísel
Sada komplexní čísla vzniklo z potřeby najít nerealistické kořeny rovnic stupně většího nebo rovného 2. Při pokusu o vyřešení rovnice x2 + 2x + 10 = 0, například prostřednictvím Bhaskarova vzorce budeme mít:
X2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 a c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Jaké rovnice druhého stupně mají? <0 nemá žádné skutečné kořeny. Abychom našli jejich kořeny, byla vytvořena sada komplexních čísel, takže √ – 36 = √36 · (–1) = 6 · √– 1 = 6i.
Prvky sady komplexních čísel, reprezentované C, jsou definovány následovně:
z je komplexní číslo, pokud z = a + bi, kde a a b jsou reálná čísla a i = √– 1.
Vztah mezi numerickými množinami
Některé číselné sady jsou podmnožinami jiných. Některé z těchto vztahů byly v textu zvýrazněny, ale všechny budou vysvětleny níže:
1 - Sada přirozených čísel je podmnožinou sady celých čísel;
2 - Sada celých čísel je podmnožinou sady racionálních čísel;
3 - Sada racionálních čísel je podmnožinou sady reálných čísel;
4 - Sada iracionálních čísel je podmnožinou sady reálných čísel;
5 - Sada iracionálních čísel a sada racionálních čísel nemají společné žádné prvky;
6 - Sada reálných čísel je podmnožinou sady komplexních čísel.
Nepřímo je možné navázat další vztahy. Je například možné říci, že množina přirozených čísel je podmnožinou množiny komplexních čísel.
Je také možné číst opak výše zmíněných vztahů a nepřímých vztahů, které lze vytvořit. K tomu stačí například říci, že množina celých čísel obsahuje množinu přirozených čísel.
Pomocí symboliky teorie množin lze tyto vztahy zapsat následovně:
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku