Na rozdíl od jím vytvořených geometrických obrazců Skóre nemá žádnou definici. To znamená, že v Geometrii je bod nedefinovaný objekt používaný při definování dalších objektů. Čáry jsou například sady bodů. I když vypadají dobře definované, čáry také nemají žádnou definici, protože každá sada obsahující dva nebo více bodů je považována za přímou.
Na druhé straně v analytické geometrii je bod považován za místo. Libovolné místo může být reprezentováno bodem a navíc je „adresa“ daného bodu dána pomocí souřadnic.
V analytické geometrii jsou však body schopné označovat pouze místa. K označení trajektorie, směru, směru a intenzity jsou potřeba další objekty. V případě těchto posledních tří je objekt zvolený k jejich reprezentaci v kartézské rovině vektor.
→ Co je to vektor?
Vektory, jsou tedy objekty, které označují směr, smysl a intenzitu. Obvykle jsou reprezentovány šipkami, které začínají od počátku, a používají se souřadnice jejich posledního bodu.
Na obrázku výše jsou vektory reprezentovány tímto způsobem, tj. Šipky, jejichž souřadnice odpovídají jejich konečnému bodu. Vektor u má souřadnice (2,2) a vektor v má souřadnice (4,2). Šipka se také používá k označení směru a směru a její velikost označuje intenzitu.
→ Násobení vektorů číslem
Vzhledem k vektoru v = (a, b) je součin reálného čísla k podle v dán výrazem:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Jinými slovy, pro vynásobení reálného čísla vektorem musíte vynásobit skutečné číslo každou z jeho souřadnic.
Geometricky, vynásobení vektoru reálným číslem zvětší velikost vektoru lineárně:
Všimněte si, že ve výše uvedeném příkladu má vektor u souřadnice (2.2) a vektor u · k souřadnice (4.4). Při řešení rovnice (4.4) = k (2.2) můžeme konstatovat, že k = 2.
→ Přidání vektorů
Vzhledem k tomu, že dva vektory u = (a, b) a v = (c, d), bude součet mezi nimi získán pomocí výrazu:
u + v = (a + c, b + d)
Jinými slovy, jednoduše sečtěte odpovídající souřadnice každého vektoru. Tuto operaci lze rozšířit na součet 3 nebo více vektorů se 3 nebo více rozměry.
Geometricky, počínaje koncovým bodem vektoru u, je vektor v 'nakreslen rovnoběžně s vektorem v. Počínaje vektorem v je vektor u 'nakreslen rovnoběžně s vektorem u. Tyto čtyři vektory tvoří rovnoběžník. Vektor u + v je následující úhlopříčka tohoto rovnoběžníku:
Chcete-li odečíst vektory, zvažte odčítání jako součet jednoho vektoru a opaku druhého. Chcete-li například odečíst vektor v od vektoru u, napište: u - v = u + (-v). Vektor -v je vektor v, ale s obrácenými znaménky souřadnic.
Podíváme-li se blíže, operace „vynásobení vektoru číslem“ a „přidání vektorů“ využít operace násobení a sčítání na reálných číslech, ale na každé složce vektor. Proto pro vektory platí všechny vlastnosti sčítání a násobení reálných čísel, jmenovitě:
Vzhledem k vektorům u, v a w a reálným číslům k a l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) existuje vektor 0 = (0,0) takový, že v + 0 = v
iv) Existuje vektor -v takový, že v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard vektoru
Norma vektoru je ekvivalentem velikosti reálného čísla, tj. Vzdálenost mezi vektorem a bodem (0,0) nebo, v závislosti na referenčním rámci, délka vektoru.
Norma vektoru v = (a, b) je označena || v || a lze jej vypočítat pomocí výrazu:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Interní produkt
Vnitřní produkt je srovnatelný s produktem mezi vektory. Produkt uvedený výše je součinem mezi vektorem a reálným číslem. Nyní je dotyčný „produkt“ mezi dvěma vektory. Neměli bychom však říkat „produkt mezi dvěma vektory“, ale spíše „interní produkt mezi dvěma vektory“. Vnitřní součin mezi vektory v = (a, b) a u = (c, d) je označen
Je také obvyklé používat následující zápis:
Všimněte si, že pomocí normy vektoru v = (a, b) můžeme uvést do vztahu normu a bodový součin.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm