Inverzní funkce: co to je, graf, cvičení

THE inverzní funkce, jak název napovídá, je funkce f (x)^-1, který dělá přesně inverzní funkci f (x). Aby funkce podporovala inverzi, musí být bijektor, tj. injektor a surjektor současně. Zákon formování inverzní funkce dělá opak toho, co dělá funkce f (x).

Například pokud funkce přebírá hodnotu z doména a přidá 2, inverzní funkce, místo sčítání odečte 2. najít zákon tvorby inverzní funkce není to vždy snadný úkol, protože je nutné invertovat neznámé x a y, stejně jako izolovat y v nové rovnici.

Přečtěte si také:Funkce - vše, co potřebujete vědět, abyste zvládli předmět

Kdy funkce podporuje inverzi?

Grafické znázornění funkce a její inverzní funkce.

Role je invertibilní, to znamená, že má inverzní funkci, pokud, a pouze pokud je bijektor. Je důležité si pamatovat, co a funkce bijektoru, což je funkce injektor, to znamená, že každý prvek obrázku má jednoho korespondenta domény. To znamená, že různé prvky v sadě A musí být spojeny s různými prvky v množina B, to znamená, že nemohou existovat dva nebo více prvků množiny A, které mají stejné odpovídající v sada B.

Role je surjektivní pokud je obrázek stejný jako proti doméně, to znamená, že v sadě B není žádný prvek, který by s ní nebyl spojen prvek v sadě A.

Nechť funkce f: A → B, kde A je doména a B je doména, inverzní funkcí f bude funkce popsaná f^-1 : B → A, to znamená, že doména a pultdoména jsou obráceny.

Příklad:

Funkce f: A → B je bijektivní, protože je injektivní (koneckonců, v A jsou spojeny různé prvky odlišné prvky v B) a je to také surjektivní, protože v množině B nezbývá žádný prvek, tj. protidoména je stejná jako soubor obraz.

Proto je tato funkce invertibilní a její inverzní funkce je:

Jak se určuje zákon tvorby inverzní funkce?

Abychom našli zákon tvorby inverzní funkce, potřebujeme zvrátit neznámé, tj. Nahradit x za y a y za x a poté izolovat neznámé y. K tomu je důležité, aby byla funkce invertibilní, tj. Bijektor.

→ Příklad 1

Najděte zákon formování inverzní funkce f (x) = x + 5.

Řešení:

Víme, že f (x) = y, takže y = x + 5. Provedením inverze x a y najdeme následující rovnice:

x = y + 5

Nyní pojďme izolovat y:

- 5 + x = y
y = x - 5

Je zřejmé, že pokud f (x) přidá 5 k hodnotě x, pak jeho inverzní f (x) ^{- 1} provede opačně, tj. x minus 5.

→ Příklad 2

Vzhledem k funkci, jejíž formační zákon je f (x) = 2x - 3, jaký bude formační zákon jeho inverzní funkce?

→ Příklad 3

Vypočítejte zákon formování inverzní funkce y = 2^X.

Řešení:

y = 2^X
Změna x pro y:
x = 2^y

přihlašování logaritmus na obou stranách:

log₂x = log₂2^y
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = log₂X

Přečtěte si také: Rozdíly mezi funkcí a rovnicí

Graf inverzní funkce

Graf inverzní funkce f ^-1 vždy bude symetrický s grafem funkce f ve vztahu k přímce y = x, což umožňuje analyzovat chování těchto funkce, i když v některých případech nemůžeme popsat zákon tvorby inverzní funkce, kvůli jeho složitost.

Přečtěte si také: Jak graf funkce?

Cvičení vyřešena

1) Pokud f^-1 je inverzní funkce f, která jde od R do R, jejíž zákon formování f (x) = 2x - 10, číselná hodnota f ^-1(2) é:

až 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Řešení:

→ 1. krok: najít inverzní f.

→ 2. krok: nahradit 2 místo x ve f ^-1(X).

Alternativa C.

2) Nechť f: A → B je funkce, jejíž zákon formace je f (x) = x² + 1, kde A {-2, -1, 0, 1, 2} a B = {1,2,5}, je správné říci, že:

a) funkce je invertibilní, protože je to bijektor.

b) funkce není invertibilní, protože nevstřikuje.

c) funkce není invertibilní, protože není surjektivní

d) funkce není invertibilní, protože není ani surjektivní, ani injektující.

e) funkce není invertovatelná, protože je to bijektor.

Řešení:

Aby byla funkce invertibilní, musí být bijektivní, tj. Surjektivní a injekční. Nejprve analyzujme, zda je surjektivní.

Aby byla funkce surjektivní, musí mít všechny prvky B protějšek v A. Abychom to věděli, vypočítáme každou z jeho číselných hodnot.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Všimněte si, že všechny prvky B {1,2,5} mají odpovídající v A, což činí funkci surjektivní.

Aby tato funkce mohla být vkládána, prvky odlišné od A musí mít odlišné obrázky v B, což se nestane. Všimněte si, že f (-2) = f (2) a také to, že f (-1) = f (1), které dělá tuto funkci ne injekčně. Jelikož nejde o injektor, není také invertibilní; proto, alternativa b.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm